达布定理如何证明?

Question

下面的导函数介值性定理即是达布定理.
定理:设f'(x)在[a,b]上存在,r是f'(a)与f'(b)之间的任意一个值,则存在一点c∈[a、b]使得f'(c)=r.
但是如何证明?

Answer 1

已知f'(a)<η<f'(b)，构造函数：g(x)=f(x)-ηx。

若g(a)=g(b)，则由罗尔中值定理：存在ε∈(a,b)使g'(ε)=0。

不妨设g(a)>g(b)，又g'(b)>0，由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)。

由介值定理存在ζ∈(a,ξ)使g(ζ)=g(b)。

又由罗尔中值定理，存在δ∈(ζ,b)使g'(δ)=0。

所以无论如何总存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η。

扩展资料

表达形式：

1、数学表达形式

设y=f(x)在(A,B)区间中可导，且[a,b]包含于(A,B)，f'(a)<f'(b)，则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η。

2、等价形式

设f(x)在 [a,b]上可微，若在 [a,b]上f′(x)不等于0 ，则f′(x)在[a,b] 上保持定号(恒正或恒负)。

Answer 2

已知f'(a)<η<f'(b)，构造函数：g(x)=f(x)-ηx。

若g(a)=g(b)，则由罗尔中值定理：存在ε∈(a,b)使g'(ε)=0。

不妨设g(a)>g(b)，又g'(b)>0，由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)。

由介值定理存在ζ∈(a,ξ)使g(ζ)=g(b)。

又由罗尔中值定理，存在δ∈(ζ,b)使g'(δ)=0。

所以无论如何总存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η。

扩展资料

若定义在区间上的一元函数处处可微，则它的导函数必是达布连续的，即在这个区间的任意两点的导数之间的数，必是该函数在这两点之间的某个点的导数。

这种情形的达布定理又称导数介值定理.根据这个定理，若f：[a，b]→R在[a，b]上可微，则f′没有第一类间断点;特别地，若f′没有零点，则f′不变号，换句话说，在f′的两个相邻零点间f必严格单调。

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Answer 3

做辅助函数
g(x)=f(x)-rx
在[a,b]连续
由闭区间连续函数存在最大最小值
则存在c∈[a,b]有g(c)是最值
由费马定理
g'(c)=0
即
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