比较下面两个定理的区别。(罗尔中值定理和达布定理)

Question

比较下面两个定理的区别。(罗尔中值定理和达布定理)罗尔中值定理:设f(x)在【a,b】上连续，在(a,b)内可导，若f(a)=f(b).则存在§∈(a,b)使得f'(§)=0.
达布定理:设f(x)在【a,b】上连续可导，若f'(a)f'(b)＜0,则存在§∈(a,b)使得f'(§)=0.

Answer 1

达布中值定理(Darboux)的数学表达形式：设y=f(x)在(A,B)区间中可导.又设[a,b]包含于(A,B),且f'(a)<f'(b),则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.

这实际上是一阶连续导函数的介值定理
你写的 只是达布中值定理 其中的一种特殊情况 即令η=0的情况，也叫导数零点定理

这俩定理 做选择题是可以使用的 但是做大题 不可直接使用 可由极限的局部保号性证明追问

那么请问他们的区别是什么，下面这个是什么意思。

追答

书上所谓的 这俩定理结论一样你理解的吧 是把罗尔定理 改成对一阶导函数的描述
结论是一样的
但是 罗尔的条件要强，就是需要一阶导函数连续
作为区别 达布中值定理 只要求一阶导函数存在 就能推出相同的结论

达布中值定理 适用于函数连续 可导 但一阶导不连续的情形 比如这个例子

函数f（x)= x^2 * sin(1/x),且 f（0）定义为 0 则f(x) 可导 （当x不为零时,显然可导.在x=0处,有定义,可导,导数为0）
但 f（x）的导函数 在x=0 出不连续!
其导数为 -cos（1/x)+2*x*sin(1/x) 后一部分在x=0处连续
但前一部分 在x--》0时 极限不存在.

追问

可是这个达布中值定理不是可以用函数的零点存在定理解释嘛，如果一阶导函数不连续，零点存在定理不就失效了么？

追答

你看明白了 我说的第一句话
书上所谓的 【这俩定理结论一样】
指的 是把罗尔定理 改成【对一阶导函数】的描述
也就是在【一阶导函数】上 使用罗尔定理
结论是一样的
但是证明达布中值定理的时候
是在【原函数】上 使用罗尔定理

追问

明白了

最后在问一下

连续可导函数的导函数一定连续吗

追答

我都给你举过例子了 你也不看

函数f（x)= 【x^2 * sin(1/x)】,且 f（0）定义为 0
则f(x) 可导 （当x不为零时,显然可导.在x=0处,有定义,可导,导数为0）
但 f（x）的导函数 在x=0 出不连续!
其导数为 -cos（1/x)+2*x*sin(1/x) 后一部分在x=0处连续
但前一部分 在x--》0时 极限不存在.

Answer 2

"罗尔的条件要强，就是需要一阶导函数连续"这句话不对吧，罗尔定理的定义只是要求原函数在闭区间上连续即端点处必须连续，没有要求导函数一定要连续！