用1～9这九个数编排一个三阶幻方

Question

用1～9这九个数编排一个三阶幻方．

Answer 1

（1）求幻和：
幻和=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3，
=45÷3，
=15；
（2）选择突破口，显然是e，看图2．
因为：a+e+i=b+e+h=c+e+g=d+e+f=15，
所以：（a+e+i）+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f），
=15+15+15+15=60，
也就是：（a+b+c+d+e+f+g+h+i）+3×e=60，
又因为：a+b+c+d+e+f+g+h+i=45，
所以：45+3×e=60，e=5；
也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数．
（3）四个角上的数a、c、g、i的特点：
先从a开始想：a是奇数还是偶数，如果a为奇数，因为a+i=10，所以i也是奇数；
因为奇+奇=偶，又因为a+d+g=15，所以d与g同是奇数或同是偶数；分两种情况：
①当d、g都是奇数时，因为d+e+f=15，g+h+i=15，其中e，i都是奇数，所以f、h也只能是奇数，这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数，而1～9中九个数只有五个奇数，所以矛盾，说明d、g不可能为奇数；
②当d、g为偶数时，因为d+f=10，g+h+i=15，c+g=10，因为i为奇数，所以f、h、c只能是偶数，这样就有c、d、f、g、h五个偶数，而1～9这九个数中只有四个偶数，矛盾，说明d、g都是偶数也不行；
所以a不能是奇数，那么只能是偶数，于是由a+i=10可知i也是偶数；
用同样的方法可以得到c、g也只能是偶数，也就是说图1中四个角上的数都应填偶数；
（4）试验填数排出幻方．
因为a=5，a、c、g、i是偶数，所以a的范围有2、4、6、8四个数，根据幻和等于15进行试验：
当a=2时，i=8，c=4或6，若c=4，则有g=6，b=9，d=7，f=3，h=1，
若c=6，则有g=4，b=7，d=9，f=1，h=3，这样可填出两个幻方；
当a=4、6、8时，可以自己填写；
用1～9这九个数编排的三阶幻方有八个：