二次函数Y=X^2-(M^2-4M+5/2)-2(M^2-4M+9/2)的图象与X轴的交点为A、B两点（B点在A的右边），与Y轴的交点为C

Question

1、若三角形ABC为直角三角形，求M的值；
2、在三角形ACB中，若AC=BC，求角ACB的正弦值。

Answer 1

解前分析：
我们知道，二次函数 y = ax2 + bx + c 与 X 轴交点的个数即为
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的实数根的个数；

一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的实数根，就对应着
二次函数 y = ax2 + bx + c 与 X 轴交点的横坐标。

把方程 x2 -- ( m2 -- 4m + 5/2 ) x -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) = 0
左边分解因式，得：

（ x + 2 ）[ x -- ( m2 -- 4m + 9/2 ) ] = 0

∴ x1 = -- 2 x2 = ( m2 -- 4m + 9/2 )

考察 x2 ， x2 = ( m2 -- 4m + 9/2 ) = （m -- 2）的平方 + 1/2
故 x2 恒大于0，
而x1 = -- 2 ，即 x1 ＜0， ∴ x2 ＞x1。

∴ A在左、B在右，坐标分别为：

A （ -- 2， 0 ） B （m2 -- 4m + 9/2 ， 0）

∴线段OA = 2， 线段OB = m2 -- 4m + 9/2。

考察 y = x2 -- ( m2 -- 4m + 5/2 ) x -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) ，
当 x = 0 时，y = -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )
∴ 点C 坐标为：【 0， -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) 】
∴ 线段OC = 2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) 。

本题第一问：若△ABC为直角三角形，由于AC 和 BC 均不垂直于 X 轴，
故，∠A 和 ∠B 均不可能等于90°
∴ 只有 ∠ACB = 90°

在∠ACB = 90°条件下，易证得Rt△AOC ∽ Rt△COB

∴ AO ：CO = OC ：OB

∴ OC的平方 = AO × OB （把OC、OA、OB 的值代入得下式）

∴【 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )】的平方 = 2 × （ m2 -- 4m + 9/2 ）
解得：m = 2。

该方程有以下简便解法：
它表示一个正数【 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )】的平方等于它本身。

∴这个正数只能为1。即：2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) = 1
∴ m2 -- 4m + 9/2 = 1/2
∴ m2 -- 4m + 4 = 0 即 （m -- 2）的平方 = 0
∴ m = 2。

本题第二问：若AC=BC，则△ACB 为等腰三角形，故有 OB = OA 。

∵ y = x2 -- ( m2 -- 4m + 5/2 ) x -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )
=（ x + 2 ）[ x -- ( m2 -- 4m + 9/2 ) ]
又∵ 当 x = -- 2 时 y = 0

∴ 抛物线恒过点A（-- 2， 0）， 即 OA = 2。
由 OB = OA 得：OB = 2。∴点B坐标为（2， 0）。

∴方程 x2 -- ( m2 -- 4m + 5/2 ) x -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) = 0
的两根之积为 A、B两点横坐标的乘积： 2 × （-- 2）= -- 4。
另外由根与系数的关系知 两根之积为： 【 -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )】

∴ 【 -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )】 = -- 4。 （等式左边就表示点C的纵坐标）
∴ OC = 4。

至此，在等腰△ACB中，
底边AB = OA + OB = 2 + 2 = 4 ，
底边AB上的高OC = 4。

以下求sin∠ACB 有三种方法。

方法①：作AH ⊥ BC 于H。
已知 ∠ACO = ∠BCO OA = OB = 2 OC = 4
由勾股定理 知 AC = BC = 2√5。
∵ S△ACB = （1/2）× BC × AH = （1/2）× AB × OC
∴ BC × AH = AB × OC
∴ AH = （AB × OC）/ BC
= (4 × 4) / 2√5
= 16 / 2√5
∴ 在Rt△ACH 中， sin∠ACB = AH / AC
=（16 / 2√5）/ 2√5
= 4 / 5

(以下的方法② 和 方法③ 用到了 高中知识)
方法②：已知 ∠ACO = ∠BCO OA = 2 OC = 4
由勾股定理 知 AC = 2√5。
∴ sin∠ACO = OA / AC = 2 / (2√5) = 1 / √5
cos∠ACO = OC / AC = 4 / (2√5) = 2 / √5
∴ sin∠ACB = 2 × sin∠ACO × cos∠ACO
= 2 × （ 1 / √5 ） × （ 2 / √5 ）
= 4 / 5。

方法③：利用 等面积法。
已知 OA = 2 OC = 4
由勾股定理 知 AC = 2√5。
∵ S△ACB = （1/2）× AB × CO = （1/2）× AC × CB × sin∠ACB
∴ sin∠ACB = （AB × CO）/ (AC × CB)
= (4 × 4) / (2√5 × 2√5)
= 16 / 20
= 4 / 5。

题中的平方打得太大了，请见谅，祝您新春愉快！

Answer 2

方程X^2-(M^2-4M+5/2)x-2(M^2-4M+9/2)=0 的解为：x1=m^2-4m+9/2 x2=-4
∵m^2-4m+9/2=（m-2）^2+1/2>0>-4 B点在A的右边 ∴B(M^2-4M+9/2,0) A(-4,0)
C(0,-2M^2+8M-9)
1.△ABC为直角三角形，很显然只有∠ACB=90° 由射影定理得 OC^2=OA×OB
即,（-2M^2+8M-9)^2=4×（M^2-4M+9/2）
(M^2-4M+9/2）^2-(M^2-4M+9/2)=0
(m^2-4m+9/2)(M^2-4M+9/2-1)=0 ∵m^2-4m+9/2=（m-2）^2+1/2>0 ∴只有
M^2-4M+9/2-1=0 2m^2-8m+7=0 m=4+√2或m=4-√2
2.若AC=BC 则OA=OB 即M^2-4M+9/2=4 m^2-4m+1/2=0 m=(4+√14)/2 m=(4-√14)/2