对于距离固定的三个以上的质点系统，为什么也只有6个自由度？

Question

这个问题出自普通物理学第六版上册中的一句话。望各位同学这本教材的高手不吝赐教！很抱歉实在是没分了！

Answer 1

互相之间距离固定的三个以上的质点系统可以视为一个刚体，即此系统中没有内部的振动。刚体是有六个自由度的，其中三个平动自由度，三个转动自由度。

令X、Y、Z为三个互相垂直的坐标轴。则六个自由度分别为
X方向移动、Y方向移动、Z方向移动；以X轴为轴心转动、以Y轴为轴心转动、以Z轴为轴心转动。
它们的组合可以使物体实现任意位置、任意姿势的运动。

还可以这样看，对于N个质点的质点系统，正常情况下（没有距离固定这种限制）应有3N个自由度。每有1个独立的距离固定的限制，就少一个自由度，所以：
1个质点 3个自由度，加一个点，只有一个限制
2个质点 6-1=5个自由度，再加一个点，又多了两个限制（与前两个点之间）
3个质点 9-1-2=6个自由度，再加一个点，多了三个限制（与前三个点之间）
4个质点 12-1-2-3=6个自由度，此后每加一个点，都只会多三个独立的限制，而不会更多 （因为和前三个点之外的距离固定之后和其他点的距离必定固定），所以
N个质点 3N-1-2-3-3(N-4)=6个自由度

Answer 2

互相之间距离固定的三个以上的质点系统可以视为一个刚体，即此系统中没有内部的振动。刚体是有六个自由度的，其中三个平动自由度，三个转动自由度。

令X、Y、Z为三个互相垂直的坐标轴。则六个自由度分别为
X方向移动、Y方向移动、Z方向移动；以X轴为轴心转动、以Y轴为轴心转动、以Z轴为轴心转动。
它们的组合可以使物体实现任意位置、任意姿势的运动。

还可以这样看，对于N个质点的质点系统，正常情况下（没有距离固定这种限制）应有3N个自由度。每有1个独立的距离固定的限制，就少一个自由度，所以：
1个质点 3个自由度，加一个点，只有一个限制
2个质点 6-1=5个自由度，再加一个点，又多了两个限制（与前两个点之间）
3个质点 9-1-2=6个自由度，再加一个点，多了三个限制（与前三个点之间）
4个质点 12-1-2-3=6个自由度，此后每加一个点，都只会多三个独立的限制，而不会更多 （因为和前三个点之外的距离固定之后和其他点的距离必定固定），所以
N个质点 3N-1-2-3-3(N-4)=6个自由度本回答被提问者采纳