已知抛物线y=-x²+2x+3交X轴于A，B两点（点A在点B的左侧），与Y轴交于点C。1.求点ABC的坐标。2.

Question

已知抛物线y=-x²+2x+3交X轴于A，B两点（点A在点B的左侧），与Y轴交于点C。1.求点ABC的坐标。2.若点M为抛物线的顶点，连接BC，CM，BM，求△BCM的面积。3.连接AC，在X轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1、与X轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与Y轴交于点C
知：X轴上的点纵坐标为0，即y=0，-x²+2x+3=0,化简得-(x-3)(x+1)=0，即x=3，或x=-1
又因点A在点B的左侧，知A（-1,0），B（3.，0）
Y轴交点C说明，C在Y轴上，即C点的横坐标为0，则y=-0²+2×0+3=3,即C（0,3）
2、y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
点M为抛物线的顶点,M（1,4），过M作MN垂直Y轴于N，N（0,4）
△BCM的面积=梯形MNOB面积-△MNC面积-△OBC面积
=（MN+OB）ON/2-MN×NC/2-OB×OC/2
=(1+3)×4/2-1×1/2-3×3/2=8-1/2-9/2=3
3、若AC为腰，根据勾股定理知AC²=OA²+OC²，AC=√10
AC=AP时，P在A左边时，AP=AC=√10,P（-1-√10，0）
P在A右边时，AP=AC=√10,P（-1+√10，0）
AC=CP时，易知P（1,0）
若AC为底边即，AP=PC,P在X轴上知，P一定在A右侧（若在左侧，底角∠CAP为钝角，等腰三角形不可能为钝角）。
设P(x,0)，则AP=1+x，PC可以看做直角三角形OPC的斜边，根据勾股定理PC²=OP²+OC²
OP=x，OC=3
AP²=PC²
(x+1)²=x²+3²
2x=8
x=4
即P（4,0）
综上P（-1-√10，0）（-1+√10，0）（4,0） P（1,0）

Answer 2

解：1、y=-x²+2x+3交X轴于A，B两点（点A在点B的左侧）
则-x²+2x+3=0
-(x-1)²+4=0
(x-1)²=4
x-1=2,x-1=-2
x=3,x=-1
A(-1,0) B(3,0)
与Y轴交于点C
则y=-0²+2*0+3=3
C(0,3)
2、y=-(x-1)²+4，则顶点M(1,4)
则CM=根号2，BM=根号20，BC=根号18
BM²=BC²+CM²
则△BCM为直角三角形
面积为：1/2*CM*BC=1/2*根号2*根号18=3
3、在X轴上存在点P使△ACP为等腰三角形，P(1,0)