利用曲线积分，求星形线x=acos^3t y=asin^3t所围成的图形面积

Question

如题所述

Answer 1

答案为3/8*πa^2。

解题过程如下：

x=acos^3t,y=asin^3t是星形线,它的面积为

∫ydx=4*∫asin^3t(acos^3t)'dt,t:π/2→0

=-3*a^2∫sin^4t*cos^2tdt

=-3a^2∫(sin^4t-sin^6t)dt

=3/8*πa^2

扩展资料：

曲线积分分为：

（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）

（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy。

例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

由对称性,S＝4∫(0→a)ydx
＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]
＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt
＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt
＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]
＝(3πa^2)/8

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Answer 4

Answer 5

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