星形线x=acos^3t，y=asin^3t所围成的面积

Question

大神，我看了你这道题的解释，关于范围我还有一个疑问，x和y是由t确定的，
A=∫(0->a)ydx，当t为0时，x为a，
t=π/2时，x为0，所以A=∫(a->0)ydx才对，为什么答案用的是你的那个范围呢？

Answer 1

星形线x=acos^3t，y=asin^3t所围成的面积为3/8*πa^2。

因为本题利用了对称性求解，首先算出来的是第一象限的面积，所以范围有这个限制。

解：本题利用了定积分求解。

计算星形线：x=acos³t，y=asin³t  的周长。

由对称性,S＝4∫(0→a)ydx

＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]

＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt

＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt

＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]

＝(3πa^2)/8

扩展资料：

“定积分”的性质有：

性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx。

性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx。

性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a。

性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b)。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2

定积分求星形线的面积

追问

谢谢，还是有一个小问题，您写的范围是
A=∫(0->a)ydx，但是当t为0时，x为a，
t=π/2时，x为0，所以A=∫(a->0)ydx才对啊？

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Answer 3

星形线x=acos^3t，y=asin^3t所围成的面积为3/8*πa^2。
因为本题利用了对称性求解，首先算出来的是第一象限的面积，所以范围有这个限制。
解：本题利用了定积分求解。
计算星形线：x=acos³t，y=asin³t 的周长。
由对称性,S＝4∫(0→a)ydx
＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]
＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt
＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt
＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]
＝(3πa^2)/8