高数求极限的问题

Question

是国庆作业，想了很久还是不会，最好把过程拍照上传，感激

Answer 1

解：利用cosx的泰勒展开式及无穷小量替换。第一题中，x→0+时，cos(√x)=1-x/2+o(x^2)，∴原式=lim(x→0+)(1-x/2)^(1/x)=e^(-1/2)。
第二题中，x→∞时，1/x→0，cos(1/x)=1-1/(2x^2)+o(1/x^2)，∴原式=lim(x→∞)[1+3/(2x^2)]^(x^2)=e^(3/2)。供参考。追问

谢谢，只是我们只学到了两个重要函数的极限那块，泰勒展开和无穷小量替换还没学，用前面的知识做得出这个题目吗

追答

第一题，可以但计算量很大【设√x=t，x=t^2，则cost=1-[√2sin(t/2)]^2。将[cos(√x)]^(1/x)={1-[√2sin(t/2)]^2}^(1/t^2)再组合，利用两个基本极限，可得结果。第二题，尚未想好只用两个函数的极限来得出结果的计算方法。

Answer 2

第一题为e^(-1/2)
第一题为e^(3/2)追问

答案正确，怎么做关键…