A为n阶整数矩阵，A' A=A，A的秩为r，则存在n阶置换矩阵P，使得PBP^{-1}=等价标准型

Question

A为n阶整数矩阵，A' A=A，秩（A）=r，则存在n阶置换矩阵P，使得：P乘以B再乘以P的-1次方=（Ir，0）（即B相似于一个等价标准型矩阵）

Answer 1

题目中条件的A 与结论中的B指同一个矩阵。

A’ = （A'A）' = A'A = A, 于是 A是对称阵 且 A^2 = A。
设 Ax = a x, x非零 ==》 A^2x = a^2x
A^2x = Ax ==> a^2x=ax
a(a-1)x=0, x非零 ===》 a=1 或 0
于是 A 是特征根为 1或 0 的对称阵，
A 的秩为r， 所以特征根1的重数为r. 于是 存在n阶置换矩阵P， 使得 PAP^(-1) = （Ir,0）

Answer 2

题目不对啊！实在看不懂。‘PBP^{-1}=等价标准型 ’这个有问题，是什么意思？

Answer 3

目中条件的A 与结论中的B指同一个矩阵。

A’ = （A'A）' = A'A = A, 于是 A是对称阵 且 A^2 = A。
设 Ax = a x, x非零 ==》 A^2x = a^2x
A^2x = Ax ==> a^2x=ax
a(a-1)x=0, x非零 ===》 a=1 或 0
于是 A 是特征根为 1或 0 的对称阵，
A 的秩为r， 所以特征根1的重数为r. 于是 存在n阶置换矩阵P， 使得 PAP^(-1) = （Ir,0）