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A为n阶整数矩阵,A' A=A,A的秩为r,则存在n阶置换矩阵P,使得PBP^{-1}=等价标准型
A为n阶整数矩阵,A' A=A,秩(A)=r,则存在n阶置换矩阵P,使得:P乘以B再乘以P的-1次方=(Ir,0)(即B相似于一个等价标准型矩阵)
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推荐答案 2010-12-03
题目中条件的A 与结论中的B指同一个矩阵。
A’ = (A'A)' = A'A = A, 于是 A是对称阵 且 A^2 = A。
设 Ax = a x, x非零 ==》 A^2x = a^2x
A^2x = Ax ==> a^2x=ax
a(a-1)x=0, x非零 ===》 a=1 或 0
于是 A 是特征根为 1或 0 的对称阵,
A 的秩为r, 所以特征根1的重数为r. 于是 存在n阶置换矩阵P, 使得 PAP^(-1) = (Ir,0)
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其他回答
第1个回答 2010-12-01
题目不对啊!实在看不懂。‘PBP^{-1}=等价标准型 ’这个有问题,是什么意思?
第2个回答 2010-12-07
目中条件的A 与结论中的B指同一个矩阵。
A’ = (A'A)' = A'A = A, 于是 A是对称阵 且 A^2 = A。
设 Ax = a x, x非零 ==》 A^2x = a^2x
A^2x = Ax ==> a^2x=ax
a(a-1)x=0, x非零 ===》 a=1 或 0
于是 A 是特征根为 1或 0 的对称阵,
A 的秩为r, 所以特征根1的重数为r. 于是 存在n阶置换矩阵P, 使得 PAP^(-1) = (Ir,0)
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