置换矩阵的置换矩阵与置换

Question

如题所述

Answer 1

设Sn是n次对称群，由于n置换一共有n! 个，n阶的置换矩阵也有n! 个。这n! 个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群。这个群的单位元就是单位矩阵。设A是所有n阶的置换矩阵的集合。映射Sn → A ? GL(n, Z2)是一个群的忠实表示。
对一个置换σ，其对应的置换矩阵Pσ是将单位矩阵的横行进行 σ 置换，或者将单位矩阵的横行进行 σ 置换得到的矩阵。
置换矩阵是双随机矩阵的一种。伯克霍夫-冯·诺伊曼定理说明每个双随机矩阵都是同阶的置换矩阵的凸组合，并且所有的置换矩阵构成了双随机矩阵集合的所有端点。
置换矩阵Pσ的迹数等于相应置换σ的不动点的个数。设 a1、a2、……、ak 为其不动点的序号，则ea1、ea2、……、eak 是Pσ的特征向量。
由群论可以知道，每个置换都可以写成若干个对换的复合。由此可知，置换矩阵Pσ都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵的乘积。Pσ的行列式就等于 σ 的符号差。