爱因斯坦数学题

Question

一条长长的楼梯，如果每一步跨2个台阶，最后余1个台阶；每次跨3个台阶，最后余2个台阶；每次跨4个台阶，最后余3个台阶；每次跨5个台阶，最后余4个台阶；每次跨6个台阶，最后余5个台阶；每次跨7个台阶，最后刚好跨完，一个也不剩。问这个楼梯最少有多少个台阶？
（要有计算方法）

Answer 1

因为每次跨5个台阶，最后余4个台阶，所以个位数为4或9，因为每一步跨2个台阶，最后余1个台阶，所以个位数只能为9，因为每次跨7个台阶，最后刚好跨完，一个也不剩，所以总台阶数能被7整除。
个位数为9，又能被7整除的正整数有49，119…………
经检验，119满足所有题中条件，所以这个楼梯最少有119个台阶

Answer 2

按我的思维推断：看第一句“若每步跨2阶，则最后剩余1阶”，即该长阶数一定是奇数！ 再看第三句“ 若每步跨5阶，则最后剩余4阶”，即该长阶数末尾一定是9！为什么？因为该长阶数减4后能被5整除，能被5整除的只有0或5，那0或5加4后等于4或9，再看回第一条，该数既然是奇数，那肯定是末尾9啦！ 突然，我想到另外一个特征，这道题的每一条，长阶数减去剩余的阶数，再除于每步跨的阶数，余数一定是0，main() { int a=1;/* 定义长阶数是变量a，初始值为1 */ while((a-1)%2!=0 || (a-2)%3!=0 || (a-4)%5!=0 || (a-5)%6!=0 || a%7!=0) { a++; /* 把题目每个特征写下来，不断循环测试，只要不符合任何一个特征，都要继续循环 */ } printf("%d",a); /* 最后输出长阶数 */ } 又想了一下，长阶数是7的倍数，那么能不能将步长值修改一下，减少运行次数呢？ 把变量a初始值改为7，步长值改为7，即： main() { int a=7;/* 变量a初始值为7*/ while((a-1)%2!=0 || (a-2)%3!=0 || (a-4)%5!=0 || (a-5)%6!=0 || a%7!=0) { a=a+7; /* 步长值改为7 */ } printf("%d",a); } 最后得出结果：119

Answer 3

用同余
已知：
a≡1(mod 2)
a≡2(mod 3)
a≡3(mod 4)
a≡4(mod 5)
a≡5(mod 6)
a≡0(mod 7)
(2、3、4、5、6)最小公倍数为 60
30a≡30(mod 60)
20a≡40(mod 60)
15a≡45(mod 60)
12a≡48(mod 60)
10a≡50(mod 60)

因为 12+12+12-15+20-10-30=1
所以 a≡59(mod 60)
又因为 a≡0(mod 7)
a=7k=59+60m
因为m要最小 所以 m=1时 为7的倍数
a=119本回答被网友采纳

Answer 4

只要+1个台阶，就都不会剩台阶了，
所以最少的总台阶是7×6×5×4×3×2×1-1=5039