消元法
1）代入消元法
用代入消元法的一般步骤是：
1.选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；
2.将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；
3.解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；
4.将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；
5。把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组 ：x+y=5①
6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③
把③代入②，得6(5-y)+13y=89
得 y=59/7
把y=59/7代入③，得x=5-59/7
得x=-24/7
∴ x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。
2）加减消元法
①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；
②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
用加减消元法解方程组的的第一种方法
例：解方程组：
x+y=9①
x-y=5②
解： ①+②
得： 2x=14
∴x=7
把x=7代入①
得： 7+y=9
∴y=2
∴方程组的解是:x=7
y=2
用加减消元法解方程组的的第二种方法
例：解方程组：
x+y=9①
x-y=5②
解： ①+②
得： 2x=14
∴x=7
①-②
得： 2y=4
∴y=2
∴方程组的解是:x=7
y=2
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解，再代入方程组的其中一个方程。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction），简称加减法。
3）顺序消元法
设二元一次方程组为：
ax+by=c (1)
dx+ey=f (2)
(a,b,d,e是x,y的系数）
若：
，则
得(3)式：
若(3)式中的
，
则可得出求解二元一次方程组的公式：
以上过程称为“顺序消元法”，对于多元方程组，求解原理相同。
应为在求解过程中只有数之间的运算，而没有整个式子的运算，因此这种方法被广泛地用于计算机中。[2]
换元法
例2，（x+5)+(y-4)=8
（x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
设参数法
例3，x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可写为：5t+6*4t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4
二元一次方程组推导过程：
在最后式中只有一个y未知数，求出y值(y=?)，再代入a1x+b1y=k1;求出X。
例题：
y=(2-3/4*0)/(1-3/4*2)=2/(-1/2)=-4
3x-4=2或4x-8=0 x=2
推导简易方程：
方程=0；未知数0；1
图像法
二元一次方程组还可以用做图像的方法，即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。
解向量法
今有一二元一次方程组
~~~①
设矩阵
，向量
和
，根据矩阵和向量的乘积定义，再对比方程组可知有以下关系：
~~~②
我们把②称作方程组①的矩阵形式
而矩阵A可看做是一次线性变换p，即把向量
按照线性变换p变换之后得到向量
。因此解方程的过程可看做是寻找一个向量
，使它经过线性变换p之后得到
。因为这是寻找一个向量的过程，所以又可以称之为解向量。
从直观上来理解上面那句话。例如把一个向量a逆时针旋转30°得到一个新的向量b，那么把b顺时针旋转30°之后，一定可以得到a。再比如把一个向量a的横纵坐标都扩大n倍之后得到向量b，那么把b的横纵坐标都缩小n倍之后，一定也可以得到a。因此，在已知b以及线性变换关系的情况下求出的a就是方程的解。
矩阵A和它的逆矩阵
对应的线性变换互逆，所以解向量的过程相当于是寻找矩阵
的逆矩阵。而根据矩阵的性质，一个矩阵
有逆矩阵的充要条件是二阶行列式
=ad-bc≠0.所以，方程组有解的充要条件就是ad-bc≠0.
根据逆矩阵的求法，
的逆矩阵为
∴
=
=
即方程组的解为
该方法亦可作为二元一次方程组的求根公式。（前提是ad-bc≠0！）
例题：用解向量法解二元一次方程组
此题中，a=3，b=1，c=4，d=2，e=2，f=0，ad-bc=3*2-1*4=2≠0
∴方程组有解，解为
x=(de-bf)/(ad-bc)=(2*2-1*0)/2=2
y=(af-ce)/(ad-bc)=(3*0-4*2)/2=-4
三类解编辑
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：
唯一解
如方程组x+y=5①
6x+13y=89②
x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
有无数组解
如方程组x+y=6①
2x+2y=12②
因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
无解
如方程组x+y=4①
2x+2y=10②，
因为方程②化简后为
x+y=5
这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：
ax+by=c
dx+ey=f
当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
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