如何用向量解决三角形问题

Question

如题所述

Answer 1

你给的这个向量不等式，可以根据三角形的三角不等式进行证明。
三角不等式：△ABC中，三边满足不等式：
　　|a - b| < c < a + b；　　　　　　　　　　　　　①
即：三角形中的任意一边，大于其余两边之差，小于这两边之和。

（注：上面的 a、b、c 都是边长，是数量；下面讨论中的a、b、c 都是向量）

对于你给的不等式，可以拆分为两个，要分别证明：
　　|a| - |b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|；　　　　　　　　　　②
　　|a| - |b| ≤ |a- b| ≤ |a| + |b|；　　　　　　　　　　③

1、证明 ② 式：
　　需分两种情况讨论：
（1）两向量不共线；
　　此时，将a、b首尾相接，可形成一个三角形的两边。而它们的向量之和：a+b，恰好是这个三角形的第三条边，记作：c；根据①式有：
　　｜|a| - |b|｜ < |c| < |a| + |b|；　　　　　　　　　　④
其中，c= a + b；而根据“一个数的绝对值，肯定不小于这个数本身”可知：
　　|a| - |b| ≤ ｜|a| - |b|｜
将上面的式子代入 ④ 式，可知：
　　|a| - |b| < |a+b| < |a| + |b|；
显然，该式满足不等式 ②；

（2）两向量共线；
　　此时，若将a、b首尾相接，得到的合向量的长度只有两种值：
1）|a+b| = |a| + |b|；
2）|a+b| = ｜|a| - |b|｜；
　　而这两个式子也都满足 ②。
综合（1）、（2）可知，不等式 ② 对于任何两个向量都成立。

2、证明 ③ 式：
　　对于 ③ 式，可以将其转换为 ② 式的形式，然后予以证明：
设向量 x= -b；则 ③ 式变为：
　　|a| - |-x| ≤ |a+x| ≤ |a| + |-x|；
因为负向量的绝对值与正向量相等，所以上式等价于：
　　|a| - |x| ≤ |a+x| ≤ |a| + |x|；　　　　　　　　　　　　⑤
显然，⑤ 式符合 ② 式，所以成立；而 ⑤ 式又等价于 ③ 式，所以 ③ 式也成立。

综合 1、2，可证明你给的不等式对于任何两个向量都成立。