△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点M是BE中点,求证:AM⊥CD

Question

△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点M是BE中点,求证:AM⊥CD

Answer 1

延长BA至F，使AF=AB，连结FE并延长交AC于G，交DC于F.

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE=90°-∠DAC，

∵∠DAC=90°-∠BAD，∠EAF=90°-∠CAE，

∴∠DAC=∠EAF.

又∵AD=AE，AC=AB=AF，

∴△ADC≌△AEF.

∴∠DCA=∠F.

又∠HGC=∠AGF，

∴∠GHC=180°-∠C-∠HGC=180°-∠F-∠AGF∠GAF=90°，

即FH⊥DC.

∵M是BE中点，A是BF中点，

∴AM‖FE.

∴AM⊥CD

Answer 2

以下字母全部表示向量,*表示向量的点乘
AM*CD=(AB+BM)*(CA+AD)=AB*CA+AB*AD+BM*CA+BM*AD=AB*AD+BM*(CA+AD)
因为BM=0.5×(BA+AE)
所以AM*CD=AB*AD+0.5×(BA+AE)*(CA+AD)=AB*AD+0.5×(BA*CA+BA*AD+AE*CA+AE*AD)
=0.5×(AB*AD+AE*CA)=0.5×(|AB|×|AD|×sin<BAD-|AE|×|AC|×sin<CAE)=0
所以AM⊥CD

Answer 3

2楼的可以