已知向量组a1，a2，a3，a4线性无关，则向量组（） A a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a1线性无关

Question

b a1-a2，a2-a3，a3-a4，a4-a1线性无关
c a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4-a1线性无关
da1+a2，a2+a3，a3-a4，a4-a1线性无关

Answer 1

遇到这种问题往往是找到原来的向量组到新向量组之间的转换矩阵，如果矩阵是满秩的，则转换后的向量组必然也线性无关。
a) 转换矩阵为
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
不是满秩的(第四行减去第一行加上第二行等于0 0 1 1和第三行相等）
b) a1-a2，a2-a3，a3-a4，a4-a1转换矩阵是
1 -1 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 -1
-1 0 0 1 不是满秩的(前三行加到最后一行就得到一个全0行)
c) a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4-a1
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
-1 0 0 1满秩
d)
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 -1
-1 0 0 1 不满秩（所有行加起来等于0 2 2 0,等于第二行的2倍）

所以只有c成立

Answer 2

(A)(a1+a2)-(a2+a3)+(a3+a4)-(a4+a1)=0 所以线性相关
(B)(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a4)+(a4-a1)=0
(D)(a1+a2)-(a2+a3)+(a3-a4)+(a4-a1)=0
(C)正确

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Answer 3

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