已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关,证明:a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1线性无关

Question

如题所述

Answer 1

遇到这种问题往往是找到原来的向量组到新向量组之间的转换矩阵，如果矩阵是满秩的，则转换后的向量组必然也线性无关。
a)
转换矩阵为
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
不是满秩的(第四行减去第一行加上第二行等于0
0
1
1和第三行相等）
b)
a1-a2，a2-a3，a3-a4，a4-a1转换矩阵是
1
-1
0
0
0
1
-1
0
0
0
1
-1
-1
0
0
1
不是满秩的(前三行加到最后一行就得到一个全0行)
c)
a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4-a1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
-1
0
0
1满秩
d)
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
-1
-1
0
0
1
不满秩（所有行加起来等于0
2
2
0,等于第二行的2倍）
所以只有c成立