2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
文科数学(必修+选修)
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3
至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题
(1)
(A) (B)- (C) (D)
1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
【解析】
(2)设全集 ，集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识
【解析】 ， ，则 =
(3)若变量 满足约束条件 则 的最大值为
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.
【解析】画出可行域（如右图）， ，由图可知,当直线 经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为 .
（4）已知各项均为正数的等比数列{ }， =5， =10，则 =
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
【解析】由等比数列的性质知 ， 10,所以 ,
所以
(5) 的展开式 的系数是
(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.
【解析】
的系数是 -12+6=-6
(6)直三棱柱 中，若 ， ，则异面直线
与 所成的角等于
(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°
6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.
【解析】延长CA到D，使得 ，则 为平行四边形， 就是异面直线
与 所成的角，又三角形 为等边三角形，
(7)已知函数 .若 且， ，则 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b= ,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.
【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或 ，所以a+b=
又0<a<b,所以0<a<1<b，令 由“对勾”函数的性质知函数 在 (0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得： ，利用线性规划得： ，化为求 的取值范围问题， ， 过点 时z最小为2,∴(C)
（8）已知 、 为双曲线C: 的左、右焦点，点P在C上，∠ = ，则
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
【解析1】.由余弦定理得
cos∠ P =
4
【解析2】由焦点三角形面积公式得：
4
（9）正方体 - 中， 与平面 所成角的余弦值为
（A） （B） （C） （D）
9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
【解析1】因为BB1//DD1,所以B 与平面AC 所成角和DD1与平面AC 所成角相等,设DO⊥平面AC ，由等体积法得 ,即 .设DD1=a,
则 , .
所以 ,记DD1与平面AC 所成角为 ,则 ,所以 .
【解析2】设上下底面的中心分别为 ； 与平面AC 所成角就是B 与平面AC 所成角，
（10）设 则
（A） （B） (C) (D)
10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.
【解析1】 a= 2= , b=In2= ,而 ,所以a<b,
c= = ,而 ,所以c<a,综上c<a<b.
【解析2】a= 2= ,b=ln2= , ， ； c= ，∴c<a<b
（11）已知圆 的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 的最小值为
(A) (B) (C) (D)
11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
【解析1】如图所示：设PA=PB= ,∠APO= ,则∠APB= ，PO= ， ，
= = = ，令 ，则 ，即 ，由 是实数，所以
， ，解得 或 .故 .此时 .
【解析2】设 ，
换元： ，
【解析3】建系：园的方程为 ，设 ，
（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
(A) (B) (C) (D)
12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为 ,则有 ,当直径通过AB与CD的中点时, ,故 .
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考
证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，在试题卷上作答无效。
3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
(注意：在试题卷上作答无效)
(13)不等式 的解集是 .
13. 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法
【解析】: ，数轴标根得：
(14)已知 为第二象限的角， ,则 .
14. 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【解析】因为 为第二象限的角,又 , 所以 ， ,所
(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有 种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有 种不同的选法.所以不同的选法共有 + 种.
【解析2】:
(16)已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 的延长线交 于点 ， 且 ，则 的离心率为 .
16. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
【解析1】如图， ,
作 轴于点D1,则由 ，得
,所以 ,
即 ,由椭圆的第二定义得
又由 ,得
【解析2】设椭圆方程为第一标准形式 ，设 ，F分 BD所成的比为2， ，代入
，
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）(注意：在试题卷上作答无效)
记等差数列 的前 项和为 ，设 ，且 成等比数列，求 .
(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
已知 的内角 ， 及其对边 ， 满足 ，求内角 ．
(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效)
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评
审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录
用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．
各专家独立评审．
(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥S-ABCD中，SD 底面ABCD，AB//DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC 平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .
（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数
（I）当 时，求 的极值;
（II）若 在 上是增函数，求 的取值范围
(22)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知抛物线 的焦点为F，过点 的直线 与 相交于 、 两点，点A关于 轴的对称点为D .
（Ⅰ）证明：点 在直线 上；
（Ⅱ）设 ，求 的内切圆 的方程 .
三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(17) 解：
（1）由am=a1+（n-1）d及a1=5，aw=9得
a1+2d=5
a1+9d=-9
解得 a1=9
d=-2
数列{am}的通项公式为an=11-2n。
因为Sm=(n-5)2+25.
所以n=5时, Sm取得最大值。
（18）解：
（1）因为PH是四棱锥P-ABCD的高。
所以AC⊥PH又AC⊥BD,PH,BD都在平面PHD内,且PH∩BD=H.
所以AC⊥平面PBD
故平面PAC平面PBD
(2)由（1）知Sm=na1+n(n-1)2 d=10n-n2
(2)因为ABCD为等腰梯形，AB CD,AC BD,AB= .
所以HA=HB= . 因为 APB= ADR=600
所以PA=PB= ,HD=HC=1.
可得PH= .
等腰梯形ABCD的面积为S= AC x BD = 2+ . ……..9分
所以四棱锥的体积为V= x（2+ ）x = ……..12分
（19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为 . ……4分
(2)
由于 所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分
（3）由于（2）的结论知，该地区的 老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12分
（20）解：（1）由椭圆定义知
又
L的方程式为y=x+c,其中c=1-b2 …… (2)
设A,(x1,y1),B(x1,y1)则A,B两点坐标满足方程组
y=x+c
x2+y2b2 =1
化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0
则x1+x2=-2c1+b2 .x1x2=1-2b21+b2
（2）
即 .
则 解得 .
（21）解：
（Ⅰ） 时， ， 。当 时 ;当 时， ;当 时， 。故 在 ， 单调增加，在（-1，0）单调减少。
（Ⅱ） 。令 ，则 。若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ，从而当x≥0时 ≥0，即 ≥0.
若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ，从而当 时 ＜0，即 ＜0. 综合得 的取值范围为
(22)解: (1) 因为AC=BD
所以∠BCD=∠ABC
又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD
(II)因为∠ECB=∠CDB, ∠EBC=∠BCD, ……5分
所以□BDC□□ECB,故BCBE =CDBC
即 BC2=BE×CD ……10分
（23）解：（I）当 时，C1的普通方程为 ，C2的普通方 程为 .
联立方程组 解得C1与C2的交点为（1,0），
（II）C1的普通方程为 .
A点坐标为 ，故当 变化时，P点轨迹的参数方程为
（ 为参数）P点轨迹的普通方程为
故P点是圆心为 ，半径为 的 圆
(24)解：:
-2x+5,x＜2
(1)由于f (x)== 2x-3,x≥2 则函数y=f(x)的图像如图所示.。
……5分
（Ⅱ）由函数 与函数 的图像可知，当且仅当 时，函数 与函数 的图像有交点。故不等式 的解集非空时，a的取值范围为 。10分