不定积分问题

Question

对cos2xcos3xdx求不定积分，有什么简单方法算？答案是带有sin5x和sinx的类型，我只会把他全化成sinx形式，答案是如何构造的，还有诸如此类的sin4xsin8x答案是sin4x和sin12x的形式，麻烦详细点

Answer 1

这类题先利用积化和差公式转化成三角函数之和的形式，再分开积分

∵cos2xcos3x=[cos(3x-2x)+cos(3x+2x)]/2=(cosx+cos5x)/2

∴∫cos2xcos3xdx
=∫(cosx+cos5x)/2 dx
=∫(cosx)/2 dx+∫(cos5x)/2 dx
=sinx/2+sin5x/10+C

积化和差公式：
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2
cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
利用这些公式，sin4xsin8x化成sin4x和sin12x的形式应该就不难理解了吧

Answer 2

cos2xcos3x=cos(3x+2x)+cos(3x-2x)=cos5x+cosx,这样就可以积分了
sin4xsin8x=cos(8x-4x)-cos(8x+4x)=cos4x-cos12x ,这类积分都是把原式先积化和差的。