高二数学立体几何求外接球体积要过程

Question

如题所述

Answer 1

先看两个棱锥的底面一定都为边长为√2的正三角形
所以可以得到此三角形的中心即为中线的交点
到顶点的距离就为中线长的2/3
已知中线长为√6/2
所以中心到顶点的距离就为d=√6/3
在看上面的三棱锥侧棱两两垂直可知每个侧面都是全等的等腰直角三角形
棱长l(1)=1
顶点在底面的投影落在底面的中心上
可知上面的棱锥高h(1)=√(l(1)的平方＋d的平方)＝√3/3
同理可知下面的正四面体的高h(2)=√(l(2)的平方＋d的平方)=2√3/3
所以上下两顶点间的距离为h(1)+h(2)=√3
所以可知外接球的球心一定在中点处到两顶点的距离相等等于半径
经验证到底面的顶点距离都相等为r=√3/2
所以体积v=4/3 *派r的立方＝√3/2*派