矩阵分解的意思是什么啊？

Question

如题所述

Answer 1

如果A，B都是方阵。则AB与BA的特征值相同。

需证明：若λ是AB的特征值，则λ也是BA的特征值。分两种情况：

(1)λ≠0，由λ是AB的特征值，存在非零向量x使得ABx=λx。所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx，且Bx≠0（否则λx=ABx=0，得λ=0，矛盾）。这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量，特别地λ也是BA的特征值。

(2)λ=0，此时存在非零向量x使得ABx=λx=0，所以AB不满秩，知det(AB)=0。从而det(BA)=det(AB)=0,BA不满秩，所以存在非零向量x使得BAx=0=λx。这说明λ=0也是BA的特征值。AB和BA的迹相同直接相乘验证即可。

矩阵分解的含义：

矩阵分解算法将m×n维的矩阵R分解为m×k的用户矩阵P和k×n维的物品矩阵Q相乘的形式。其中m为用户的数量，n为物品的数量，k为隐向量（Latent Factor）的维度。k的大小决定了隐向量表达能力的强弱，实际应用中，其取值要经过多次的实验来确定。

在得到了用户矩阵和物品矩阵Q后，将两个矩阵相乘，就可以得到一个满秩的矩阵。那么，我们就对未被评价过的物品，有了一个预测评分。接下来，可以将评分进行排序，推荐给用户。这就是矩阵分解对于推荐系统最基本的用途。