平面向量的加减法怎么死活都不会？有没有什么口诀？跪求！

Question

如题所述

Answer 1

设向量a=(x,y)，b=(x',y')。
1、向量的加法：向量加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法：
如果a、b互为相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。0的反向量为0。
AB-AC=CB。
即“共同起点，指向被减”
a-b=(x-x',y-y')。
4、数乘向量：
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|•|a|。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的|λ|倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律：
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa。
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb。
数乘向量的消去律：
① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的数量积：
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π。
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=±|a|•|b|。
向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。
向量的数量积的运算律：
a•b=b•a（交换律）；(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；
向量的数量积的性质：
a•a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点：
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积：
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：|a×b|=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
|a×b|是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律：
a×b=-b×a；(λa)×b=λ(a×b)=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式：
1、||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|；
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
定比分点：
定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式。
三点共线定理：
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线。
三角形重心判断式：
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心。