如何用换元法算根号根号(1-X平方) X属于0到1的定积分 不是图形面积 用换元法COSX求

Question

问下令X=COST求得dt=sint再求原函数为什么不对

Answer 1

设x = cost
因为x从0积到1，所以t从pi/2积到0(注意顺序不能换)
dx = -sint dt
所以原积分 = 从pi/2积到0 {-sinx*根号[1-(cost)^2]} dt = 从pi/2积到0 [-(sint)^2] dt = -1/2 从pi/2积到0 (1-cos2t) dt = pi/4

Answer 2

设x=sint,dx=costdt,x=0,t=0,x=1,t=π/2，
∫[0,1]√(1-x^2)dx=∫[0，π/2]cost*costdt=∫[0，π/2](cost)^2dt=(1/2)∫[0，π/2](1+cos2t)dt
=[0，π/2](t/2)+(1/4)[0,π/2]sin2t=π/4. 补充：(cost)'=-sint.