谁能帮忙算不定积分，∫（cosx）＾2 dx，要求用换元法

Question

如题所述

Answer 1

令t=cosx 则x=arccost （t∈【-1,1】 ）楼下的方法更简单，为什么非要用换元法啊？

∫（cosx）＾2　dx=∫（t）＾2　d（arccost）
=∫　-t＾2/√(1-t^2)dt
=∫　-t＾2/√(1-t^2)dt

Answer 2

这类题一般是利用三角函数公式降次
cos²x=(1+cos2x)/2
∴∫ cos²xdx
=∫ [(1+cos2x)/2]dx
=(1/2)(∫dx+∫ cos2xdx)
=(1/2)[x+(1/2)sin2x]+C
=x/2+sin2x/4+C
=(x+sinxcosx)/2+C
C为任意常数追问

谢谢高手哈，但是这个题要求严格换元法哈。不过……能不能再帮忙算一下∫xsin2xdx和∫(lnx)^2dx和∫dx/(4x-x^2)½前两个用分部积分法，后一个不限。跪谢高手

追答

cqwanbi666已经给出了换元法的过程，接下来化简就可以了

∫xsin2xdx
=(-1/2)∫xd(cos2x)
=(-1/2)(xcos2x-∫cos2xdx)
=(-1/2)[xcos2x-(1/2)sin2x]+C
=(sinxcosx-xcos2x)/2+C

∫ (lnx) dx
=x(lnx)²-∫ xd[(lnx)²]
=x(lnx)²-∫ 2lnx dx
=x(lnx)²-2xlnx+2∫ xd(lnx)
=x(lnx)²-2xlnx+2∫ dx
=x(lnx)²-2xlnx+2x+C

∫dx/√(4x-x²)
=∫dx/√(4-4+4x-x²)
=∫dx/√[4-(x-2)²]
=(1/2)∫dx/√{1-[(x-2)/2]²}
=∫d[(x-2)/2]/√{1-[(x-2)/2]²}
=∫du/√(1-u²)
=arcsinu+C
=arcsin[(x-2)/2]+C

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