定积分的应用，曲线y=e^x * cosx, 0 <=x<=2pai,与x轴围成的图形的面积，怎么求？

Question

只列出式子就行，这题是星火高等数学习题详解第三版的266页第一题，答案没有讲解，我不懂，请高手明示

Answer 1

不定积分∫(e^x)cosxdx=(e^x)(sinx+cosx)/2+C，这个你自己证明吧，用分部积分法。
面积由3个图形合成
A1=∫(0到π/2) (e^x)(cosx) dx
=[(e^x)(cosx)](0到π/2)
=[e^(π/2)-1]/2
A2=-∫(π/2到3π/2) (e^x)(cosx) dx，A2面积在x轴下边，所以要加负号
=-[(e^x)(cosx)](π/2到3π/2)
=(e^π)cosh(π/2)
=[e^(π/2)](1+e^π)/2
A3=∫(3π/2到2π) (e^x)(cosx) dx
=[(e^x)(cosx)](3π/2到2π)
=[(e^x)(sinx+cosx)/2](3π/2到2π)
=[e^(3π/2)][1+e^(π/2)]/2

∴总面积=[e^(π/2)-1]/2+[e^(π/2)](1+e^π)/2+[e^(3π/2)][1+e^(π/2)]/2
=e^(π/2)+e^(3π/2)+[e^(2π)]/2-1/2
≈383.374084

Answer 2

该导函数的原函数为F(x)=e^x*(cosx+sinx)/2 然后面积用积分就是F(2pai)-F(0)=…追问

不是

Answer 3

∫e^x*cosxdx
=∫e^xdsinx
=e^x*sinx-∫sinxd(e^x)
=e^x*sinx-∫e^x*sinxdx
=e^x*sinx+∫e^x*(-sinx)dx
=e^x*sinx+∫e^x*dcosx
=e^x*sinx+e^x*cosx-∫cosxd(e^x)
=e^x*sinx+e^x*cosx-∫e^x*cosxdx,
=e^x(sinx+cosx)-∫e^x*cosxdx,
2∫e^x*cosxdx=e^x(sinx+cosx)+2C(C为任意常数),
∫e^x*cosxdx=[e^x(sinx+cosx)]/2+C.
e^x>0,
当x=π/2或x=3π/2时，cosx=0,e^x*cosx=0.
当0<=x=<π/2或3π/2<x<=2π时，cosx>0,e^x*cosx>0.
当π/2<x<3π/2时，cosx<0,e^x*cosx<0
曲线y=e^x * cosx, 0 <=x<=2π,与x轴围成的图形的面积
=∫<0,π/2>e^x*cosxdx+∫<π/2,3π/2>[-e^x*cosx]dx+∫<3π/2,2π>e^x*cosxdx
=∫<0,π/2>e^x*cosxdx+∫<3π/2,π/2>e^x*cosxdx+∫<3π/2,2π>e^x*cosxdx
=∫<0,π/2>e^x*cosxdx+∫<3π/2,π/2>e^x*cosxdx+∫<3π/2,2π>e^x*cosxdx
=[e^x(sinx+cosx)]/2|<0,π/2>+[e^x(sinx+cosx)]/2|<3π/2,π/2>+[e^x(sinx+cosx)]/2|<3π/2,2π>
=e^(π/2)-1/2+e^(π/2)+e^(3π/2)+e^(2π)+e^(3π/2)
=2e^(π/2)+2e^(3π/2)+e^(2π)-1/2本回答被提问者采纳