第1个回答 2011-05-01
【1】例题：
1讨论 求二次函数y=x^+mx+m(-3<=x<=-1）的最小值
2.抛物线y=x^+px+q有一点M（Xo，Yo)位于x轴下方
（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点 A（X1，0） B(X2,0)
其中X1<X2
(2)求证：X1<X0<X2
(3)当点M为（1，-1999）时 求整数X1,X2
<=就是小于等于
解析：
1. 看图像，易知二次函数开口向上。可根据对称轴的位置分三类讨论：
（1）对称轴在x=-3与x=-1之间，即-3<=-m/2<=-1,即-2<=m<=6。此时最小值在x=-m/2时取到，代入得y(min)=m-(m^2)/4
(2) 对称轴大于-1，即-m/2>-1,即m<2。根据图像知此时最小值在x=-1时取到，代入得y(min)=1
（3）对称轴小于-3，即-m/2<-3,即m>6。同样根据图像知最小值在x=-3时取到，y(min)=9-2m
2. (1)配方：y=(x+p/2)^2+q-(p^2)/4.将M(Xo,Yo)代入得Yo=(Xo+p/2)^2+q-(p^2)/4<0,所以q-(p^2)/4<0，即p^2>4q,由判别式知x^+px+q=0有两根
（2）设y=(x-x1)(x-x2),将xo代入，则yo=(xo-x1)(xo-x2)<0，于是(xo-x1)>0且(xo-x2)<0，或(xo-x1)<0且(xo-x2)>0,因为x1<x2,只能是前一种情况，故x1<xo<x2
(3) p=-(x1+x2),q=x1*x2.
将M点代入方程，p和q用x1和x2代换整理得x1*x2-(x1+x2)+1=-1999,即(x1-1)(x2-1)=-1999,又由x1和x2是整数及x1<x2得x1=-1998,x2=2,或x1=0,x2=2000.
【2】.一个三角形的三条边分别是13,14,15,则这个三角形的面积等于多少?
2、由海伦公式得：p=(13+14+15)/2=21
S=√p(p-a)(p-b)(p-c)=√[21(21-13)(21-14)(21-15)]=84
第2个回答 2011-04-30
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题
题 号 一 二 三 总 分
1～5 6～10 11 12 13 14
得 分
评卷人
复查人
答题时注意：
用圆珠笔或钢笔作答；
解答书写时不要超过装订线；
草稿纸不上交。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若，则的值为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
2．若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）．
（A）a≤ （B）a≥4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，
（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）．
（A）（2010，2） （B）（2010，）
（C）（2012，） （D）（0，2）
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．
9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 ．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： ．
12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
(1)求实数a，b，k的值；
(2)过抛物线上点A作直线AC‖x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
13．求满足的所有素数p和正整数m.
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛参考答案
选择题
答案：D
由题设得
答案：C
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4．
答案：D
如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是 EF＝4＋．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD＝．
答案：B
由和可得
，，，，
，，，，
……
因为2010=4×502+2，所以=2．
答案：B
由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．
记，其中．
根据对称关系，依次可以求得：
，，，．
令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），
由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．
填空题
6. 答案：0
由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7. 答案：15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
， ①
， ② ． ③
由①②，得，所以，x=30． 故 （分）．
8. 答案：
如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，
过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为，则
解得 ,故所求直线的函数表达式为．
9. 答案：
见题图，设．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ．
又因为 FC＝DC＝AB，所以 即 ，
解得，或（舍去）．
又Rt△∽Rt△，所以， 即=．
10. 答案：
因为为的倍数，所以的最小值满足
，
其中表示的最小公倍数．
由于
，
因此满足的正整数的最小值为．
解答题
11. 证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以 ED⊥BC， FD⊥BC，
因此D，E，F三点共线. …………（5分）
连接AE，AF，则
，
所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
，
从而 ，
所以 . …………（20分）
12. 解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.
设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有
解得，.
于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故
，整理得，
解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．
因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以 解得 …………（10分）
（2）如图，因为AC‖x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.
设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.
因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.
（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.
延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.
（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E2（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（2，）. …………（20分）
13. 解：由题设得，
所以，由于p是素数，故，或. ……（5分）
（1）若，令，k是正整数，于是，
，
故，从而.
所以解得 …………（10分）
（2）若，令，k是正整数.
当时，有，
，
故，从而，或2.
由于是奇数，所以，从而.
于是
这不可能.
当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解.
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. …………（20分）
14. 解：首先，如下61个数：11，，，…，（即1991）满足题设条件. …………（5分）
另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为
， ，
所以 .
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）
设，i=1，2，3，…，n.
由，得，
所以，，即≥11. …………（15分）
≤，
故≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为61. …………（20分）
第3个回答 2011-04-29
【1】、例题：
1讨论 求二次函数y=x^+mx+m(-3<=x<=-1）的最小值
2.抛物线y=x^+px+q有一点M（Xo，Yo)位于x轴下方
（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点 A（X1，0） B(X2,0)
其中X1<X2
(2)求证：X1<X0<X2
(3)当点M为（1，-1999）时 求整数X1,X2
<=就是小于等于
解析：
1. 看图像，易知二次函数开口向上。可根据对称轴的位置分三类讨论：
（1）对称轴在x=-3与x=-1之间，即-3<=-m/2<=-1,即-2<=m<=6。此时最小值在x=-m/2时取到，代入得y(min)=m-(m^2)/4
(2) 对称轴大于-1，即-m/2>-1,即m<2。根据图像知此时最小值在x=-1时取到，代入得y(min)=1
（3）对称轴小于-3，即-m/2<-3,即m>6。同样根据图像知最小值在x=-3时取到，y(min)=9-2m
2. (1)配方：y=(x+p/2)^2+q-(p^2)/4.将M(Xo,Yo)代入得Yo=(Xo+p/2)^2+q-(p^2)/4<0,所以q-(p^2)/4<0，即p^2>4q,由判别式知x^+px+q=0有两根
（2）设y=(x-x1)(x-x2),将xo代入，则yo=(xo-x1)(xo-x2)<0，于是(xo-x1)>0且(xo-x2)<0，或(xo-x1)<0且(xo-x2)>0,因为x1<x2,只能是前一种情况，故x1<xo<x2
(3) p=-(x1+x2),q=x1*x2.
将M点代入方程，p和q用x1和x2代换整理得x1*x2-(x1+x2)+1=-1999,即(x1-1)(x2-1)=-1999,又由x1和x2是整数及x1<x2得x1=-1998,x2=2,或x1=0,x2=2000.
【2】、.一个三角形的三条边分别是13,14,15,则这个三角形的面积等于多少?
2、由海伦公式得：p=(13+14+15)/2=21
S=√p(p-a)(p-b)(p-c)=√[21(21-13)(21-14)(21-15)]=84
【3】、3在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积是多少?
3、AC=5，又得到三角形ADC为直角三角形，所以面积为：3*4/2+5*12/2＝36