正三棱锥的外接球与内切球的半径是什么，请把答案写详细。假设侧棱为a。底面边长为b。

Question

如题，拜托各位了

Answer 1

解：正三棱锥P-ABC，棱长a
设底面三角形ABC的AB、BC、CA边中点为D、E、F
易得三角形BPF、AEP、CDP全等，BF、CD、AE交于O，且PO⊥平面ABC
任选PO上一点O'，易证明O'到PD、PE、PF的距离相等
当OO'等于O'到PD、PE、PF的距离距离时，恰好就是正三棱锥的内切球半径r
OF=OE=OD=(1/3)AE=(1/3)CD=(1/3)BF=a√6/6

PD=PE=PF=AE=CD=BF=a√2/2
PO=√(a^2/2-a^2/6)=√(a^2/3)=a√3/3
O到三个侧面的距离=1/3
设OO'=r
(√3/3-r):√3/3=r:(1/3)
r=OO'=(3-√3)a/6
验证：O'到PF的距离O'H=OO'
设OG⊥PF，O'H//OG
sin∠OFP=OP/PF=√6/3,OG=OF*sin∠OFP=a/3
(PO-r)/PO=O'H/OG
O'H=(PO-r)*OG/PO=(√3/3-1/2+√3/6)a/√3
=(√3-1)a/(2√3)=(3-√3)a/6=r
所以，正三棱锥内切球的半径r=a(3-√3)/6
PO=√3/3<AO=a√6/3,外接球球心O2在PO延长线上
外接球半径R=PO+OO2
(PO+OO2)^2=OO2^2+AO^2
2PO*OO2=AO^2-PO^2
a(2√3/3)*OO2=a^2(6/9-3/9)
OO2=a√3/6
因为AO=BO=CO，所以O2A=O2B=O2C=PO2=R
R=PO+OO2=a√3(1/6+1/3)=a√3/2
r:R=(3-√3)a/6*(2/a√3) =(√3-1)/3追问

太杂了，你把外接球，内切球半径公式直接告诉我吧