已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为根号2，求外接球和内切球半径.

Question

要解题过程，最好有图形解释。

Answer 1

即外接圆半径为√6/4 

即内切球半径为√6×(√7-1)/12 

如图 

AB=1; OB=√2 

易知 

BE=√2/2 

EG=1/2 

正四棱锥的外接球和内切球球心肯定在OE上，设外接球球心为M，内切球球心为N 

且符合以下条件： 

外接球：OM=MB（到顶点距离相等） 

内切球：NE=NF（到面距离相等） 

因此，我们得到△OBE 

BE=√2/2 

OB=√2 

因此∠BOE=30度 

OE=BE×√3=√6/2 

故OM=MB=OE/2=√6/4 

即外接圆半径为√6/4 

考查△OEG， 

EG=1/2 

OE=√6/2 

故OG=√7/2 

根据三角形面积关系,设NE=NF=n 

S△ENG+S△ONG=S△OEG 

n×EG+n×OG=EG×OE 

n/2+√7n/2=√6/4 

n=√6×(√7-1)/12 

即内切球半径为 

√6×(√7-1)/12