如何解二维随机变量的密度分布函数?

Question

如题所述

Answer 1

当处理二维随机变量的密度函数问题时，我们可以按照以下步骤来解决问题：
（1）求Z = max{X, Y}的密度函数：
1. 我们需要找出Z = max{X, Y}在不同区域上的分布情况。
2. 当X ≤ Y时，Z = Y；当X > Y时，Z = X。
3. 根据密度函数 f(x, y) 的定义域，我们可以分为两个情况来计算：
a. 当1 - x ≤ y ≤ 1 且 0 ≤ x ≤ 1 时，Z = Y，因此，P(Z ≤ z) = P(Y ≤ z) = ∫[1 - z, 1] ∫[0, 1] e^x dy dx。

b. 当其他情况时，Z = X，因此，P(Z ≤ z) = P(X ≤ z) = ∫[0, z] ∫[z - 1, 1] e^x dy dx。
4. 计算得到累积分布函数 F_Z(z) = P(Z ≤ z)。
5. 求导得到密度函数 f_Z(z) = d/dz F_Z(z)。
（2）求Z = min{X, Y}的密度函数：
1. 我们需要找出Z = min{X, Y}在不同区域上的分布情况。
2. 当X ≤ Y时，Z = X；当X > Y时，Z = Y。
3. 根据密度函数 f(x, y) 的定义域，我们可以分为两个情况来计算：
a. 当1 - x ≤ y ≤ 1 且 0 ≤ x ≤ 1 时，Z = X，因此，P(Z ≥ z) = P(X ≥ z) = ∫[z, 1] ∫[1 - x, 1] e^x dy dx。

b. 当其他情况时，Z = Y，因此，P(Z ≥ z) = P(Y ≥ z) = ∫[z - 1, 1] ∫[z, 1] e^x dy dx。
4. 计算得到累积分布函数 F_Z(z) = P(Z ≥ z)。
5. 求导得到密度函数 f_Z(z) = -d/dz F_Z(z)。