sinx小于x证明； tanx在实数范围内与x的关系是怎样的？

Question

怎样证明sinx在实数范围内都比x小，tanx在实数范围内与x的关系是怎样的？

Answer 1

第一个证明可以构造函数:F(x)=x-sinx
求导得:F'(x)=1-cosx>0 所以F(x)为增函数
F(x)>=F(0)=0
依这种思想可以推的它们的关系,也可以用图形法:即在单位圆内,面积相同的方法证明.
至于第二个问题:tanx为周期函数,且在一个周期内可以是无穷大,而x是一个增函数,所以二者没有一个很好的数量关系,一定要说有的话就要分区间去比较,你画出二者的图象会看的比较明显.

Answer 2

怎样证明sinx在实数范围内都比x小，tanx在实数范围内与x的关系是怎样的？

你的说法是错误的,
当x<-2π时,显然sinx>x,
当x>0时,可以证明sin<x,
用的办法是,面积法,
先证明在锐角范围内
sinx<x<tanx
在半径为1的单位圆中取锐角θ,
以半径OA为一边,绕圆心转过θ后,做射线OB交圆于B,
做BD⊥OA=D,做AE⊥OA交OB于E,
△OBD面积=sinx/2,
扇形OAB面积=θ/2,
△OAE面积=tanθ/2,
很容易比较面积大小.

当x>π/2时,显然sinx<sin(π/2)<x,
tanx和x在区间(kπ,(k+1)π)中总有一段tanx＞x,有一段tanx<x,

Answer 3

怎样证明sinx在实数范围内都比x小，tanx在实数范围内与x的关系是怎样的？
你的说法是错误的,
当x<-2π时,显然sinx>x,
当x>0时,可以证明sin<x,
用的办法是,面积法,
先证明在锐角范围内
sinx<x<tanx
在半径为1的单位圆中取锐角θ,
以半径OA为一边,绕圆心转过θ后,做射线OB交圆于B,
做BD⊥OA=D,做AE⊥OA交OB于E,
△OBD面积=sinx/2,
扇形OAB面积=θ/2,
△OAE面积=tanθ/2,
很容易比较面积大小.
当x>π/2时,显然sinx<sin(π/2)<x,
tanx和x在区间(kπ,(k+1)π)中总有一段tanx＞x,有一段tanx<x,

Answer 4

前提 -pi/2<=x<=pi/2
sinx<x<tanx 证明 高数书上有

Answer 5

通过圆来解决 设X为半径就行