小小的初中数学题

Question

若a2(b-c)+b2 (a-c)+c2 (a-b)=0 ，求证：a、b、c三个数中至少有两个数相等
问题补充："a2 b2 c2" 为平方

Answer 1

方法一：解：(a^2)*(b-c)+(b^2)(c-a)+(c^2)(a-b)
=a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b
=ab(a-b)+bc(b-c)+ac(c-a)
=b(a^2-ab+cb-c^2)+ac(c-a)
=b[(a+c)(a-c)-b(a-c)]+ac(c-a)
=b(a-c)(a+b-c)-ac(a-c)
=(a-c)(ab+b^2-bc-ac)
=(a-c)(a-b)(b-c)=0

所以说a-c=0或a-b=0或b-c=0

即：a，b，c三个数中至少有两个数相等。

方法二：
把式子展开,得
a²b-a²c+b²c-b²a+c²b-c²a=0
(a-b)(c²-ab-ac+ab)=0
(a-b)(b-c)(c-a)=0
所以:a,b,c三个数中至少有两个数相等

祝你学习天天向上，加油！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 2

若a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0
则:a²b-a²c+b²c-b²a+c²a-c²b=0
b(a²-c)+b²(c-a)+ac(c-a)=0
b(a+c)(a-c)+b²(c-a)+ac(c-a)=0
(a-c)(ab+bc-b²-ac)=0
(a-c)[b(a-b)+c(b-a)]=0
(a-c)(a-b)(b-c)=0
所以a.b.c中至少有两个数相等

Answer 3

a=c

Answer 4

设a.b.c都不相等且a＞b＞c
则b-c＞0，a-c＞0，a-b＞0
所以，a2(b-c)+b2 (a-c)+c2 (a-b)≠0
所以至少a，b，c中两个数相等才会等于零！

Answer 5

a^2*b-a^2*c+b^2*c-a*b^2+c^2*(a-b)
=a^2*b-a*b^2-c(a^2-b^2)+c^2*(a-b)
=ab(a-b)-c(a+b)(a-b)+c^2*(a-b)
=(a-b)[c^2-c(a+b)+ab]
=(a-b)(c-a)(c-b)

即:(a-b)(c-a)(c-b)=0
所以a-b=0或c-a=0或c-b=0

所以a、b、c三个数中至少有两个数相等

Answer 6

(1)原式左边=a^2*b-a^2*c+b^2*c-a*b^2+c^2*(a-b)
=a^2*b-a*b^2-c(a^2-b^2)+c^2*(a-b)
=ab(a-b)-c(a+b)(a-b)+c^2*(a-b)
=(a-b)[c^2-c(a+b)+ab]
=(a-b)(c-a)(c-b)

即:(a-b)(c-a)(c-b)=0
那么a-b=0或c-a=0或c-b=0

所以,a、b、c三个数中至少有两个数相等
(2)原式左边=a^2*b-a^2*c+b^2*c-a*b^2+c^2*(a-b)
=a^2*b-a*b^2-c(a^2-b^2)+c^2*(a-b)
=ab(a-b)-c(a+b)(a-b)+c^2*(a-b)
=(a-b)[c^2-c(a+b)+ab]
=(a-b)(c-a)(c-b)

即:(a-b)(c-a)(c-b)=0
那么a-b=0或c-a=0或c-b=0

所以,a、b、c三个数中至少有两个数相等
(3)设a.b.c都不相等且a＞b＞c
则b-c＞0，a-c＞0，a-b＞0
所以，a2(b-c)+b2 (a-c)+c2 (a-b)≠0
所以至少a，b，c中两个数相等才会等于零
(4)a^2*b-a^2*c+b^2*c-a*b^2+c^2*(a-b)
=a^2*b-a*b^2-c(a^2-b^2)+c^2*(a-b)
=ab(a-b)-c(a+b)(a-b)+c^2*(a-b)
=(a-b)[c^2-c(a+b)+ab]
=(a-b)(c-a)(c-b)

即:(a-b)(c-a)(c-b)=0
所以a-b=0或c-a=0或c-b=0

所以a、b、c三个数中至少有两个数相等
(5)若a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0
则:a²b-a²c+b²c-b²a+c²a-c²b=0
b(a²-c)+b²(c-a)+ac(c-a)=0
b(a+c)(a-c)+b²(c-a)+ac(c-a)=0
(a-c)(ab+bc-b²-ac)=0
(a-c)[b(a-b)+c(b-a)]=0
(a-c)(a-b)(b-c)=0
所以a.b.c中至少有两个数相等