2008年全国中考数学压轴题精选(七)
61.（08广东中山22题）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边
AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．
(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.
(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.
(3)如图10，若以AB所在直线为 轴，过点A垂直于AB的直线为 轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向 轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.
（08广东中山22题解析）解：（1） ， ，…………………………1分
等腰；…………………………2分
（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)
所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分
（3）由题意知，FP‖AE，
∴ ∠1＝∠PFB，
又∵ ∠1＝∠2＝30°，
∴ ∠PFB＝∠2＝30°,
∴ FP＝BP.…………………………6分
过点P作PK⊥FB于点K，则 .
∵ AF＝t，AB＝8，
∴ FB＝8－t， .
在Rt△BPK中， . ……………………7分
∴ △FBP的面积 ，
∴ S与t之间的函数关系式为：
，或 . …………………………………8分
t的取值范围为： . …………………………………………………………9分
62.（08河北省卷26题）如图15，在 中， ， ， ， 分别是 的中点．点 从点 出发沿折线 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点 从点 出发沿 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点 作射线 ，交折线 于点 ．点 同时出发，当点 绕行一周回到点 时停止运动，点 也随之停止．设点 运动的时间是 秒（ ）．
（1） 两点间的距离是 ；
（2）射线 能否把四边形 分成面积相等的两部分？若能，求出 的值．若不能，说明理由；
（3）当点 运动到折线 上，且点 又恰好落在射线 上时，求 的值；
（4）连结 ，当 时，请直接写出 的值．
（08河北省卷26题解析）解：（1）25．
（2）能．
如图5，连结 ，过点 作 于点 ，
由四边形 为矩形，可知 过 的中点 时，
把矩形 分为面积相等的两部分
（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），
此时 ．由 ， ，得 ．
故 ．
（3）①当点 在 上 时，如图6．
， ，
由 ，得 ．
．
②当点 在 上 时，如图7．
已知 ，从而 ，
由 ， ，得 ．
解得 ．
（4）如图8， ；如图9， ．
（注：判断 可分为以下几种情形：当 时，点 下行，点 上行，可知其中存在 的时刻，如图8；此后，点 继续上行到点 时， ，而点 却在下行到点 再沿 上行，发现点 在 上运动时不存在 ；当 时，点 均在 上，也不存在 ；由于点 比点 先到达点 并继续沿 下行，所以在 中存在 的时刻，如图9；当 时，点 均在 上，不存在 ）
63.（08湖北十堰25题）已知抛物线 与 轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点 ，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（08湖北十堰25题解析）解：⑴对称轴是直线： ，点B的坐标是(3,0)． ……2分
说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．
⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，
∴AB＝4．∴
在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，
∴
∴b＝ ………………………………3分
当 时，
∴ ………………………………4分
∴ ………………5分
⑶存在．……………………………6分
理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为 ．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM‖AB，且CM＝AB．
由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4， ．
∴x＝±4．∴点M的坐标为 ．…9分
说明：少求一个点的坐标扣1分．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．
∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC‖MB．
∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝ ．
∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．
∴点M的坐标为 ． ……………………………12分
说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，
然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．
综上所述，坐标平面内存在点 ，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为 ．
说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。
64（08湖南株洲23题）如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数 的图象为 .
（1）平移抛物线 ，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.
（2）平移抛物线 ，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为 ，如图（2），求抛物线 的函数解析式及顶点C的坐标.
（3）设P为y轴上一点，且 ，求点P的坐标.
（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线 上是否存在点Q，使 为等腰三角形. 若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.
（08湖南株洲23题解析）
（1） 等 （满足条件即可） ……1分
（2）设 的解析式为 ，联立方程组 ，
解得： ，则 的解析式为 ， ……3分
点C的坐标为（ ） ……4分
（3）如答图23-1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则 ， ， ， ， ， .
得： . ……5分
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为 ，则点G的坐标为（0， ），设点P的坐标为（0， ）
①当点P位于点G的下方时， ，连结AP、BP，则 ，又 ，得 ，点P的坐标为（0， ）. …… 6分
②当点P位于点G的上方时， ，同理 ，点P的坐标为（0， ）.
综上所述所求点P的坐标为（0， ）或（0， ） …… 7分
(4) 作图痕迹如答图23-2所示.
由图可知，满足条件的点有 、 、 、 ，共4个可能的位置. …… 10分
65（08四川达州23题）如图，将 置于平面直角坐标系中，其中点 为坐标原点，点 的坐标为 ， ．
（1）若 的外接圆与 轴交于点 ，求 点坐标．
（2）若点 的坐标为 ，试猜想过 的直线与 的外接圆的位置关系，并加以说明．
（3）二次函数的图象经过点 和 且顶点在圆上，
求此函数的解析式．
（08四川达州23题解析）解：（1）连结AD，则∠ADO＝∠B＝600
在Rt△ADO中，∠ADO＝600
所以OD＝OA÷ ＝3÷ ＝
所以D点的坐标是（0， ）
（2）猜想是CD与圆相切
∵ ∠AOD是直角，所以AD是圆的直径
又∵ Tan∠CDO=CO/OD=1/ = , ∠CDO＝300
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠ 即CD⊥AD
∴ CD切外接圆于点D
（3）依题意可设二次函数的解析式为 ：
y=α（x－0）(x－3)
由此得顶点坐标的横坐标为：x= = ;
即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF，则得∠EFA＝ ∠B＝300
得到EF＝ EA＝ 可得一个顶点坐标为（ ， ）
同理可得另一个顶点坐标为（ ， ）
分别将两顶点代入y=α（x－0）(x－3)可解得α的值分别为 ，
则得到二次函数的解析式是y= x(x－3)或y= x(x－3)
66（08安徽芜湖24题）如图，已知 ， ，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
(1) 求C点坐标及直线BC的解析式;
(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;
(3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为 的点P．
解:
（08安徽芜湖24题解析）解： （1）
过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：
△ABO∽△ACD， ∴ ．
由已知 ， 可知： ．
∴ ．∴C点坐标为 ． 2分
直线BC的解析是为：
化简得： 3分
（2）设抛物线解析式为 ，由题意得： ，
解得： ,
∴解得抛物线解析式为 或 ．
又∵ 的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为 5分
（准确画出函数 图象） 7分
（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距 的上下两条平行直线 和 上． 8分
由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为 ．
如图，设 与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中 ， ，
∴ ．∴可以求得直线 与y轴交点坐标为 10分
同理可求得直线 与y轴交点坐标为 11分
∴两直线解析式 ； ．
根据题意列出方程组： ⑴ ；⑵
∴解得： ； ； ；
∴满足条件的点P有四个，它们分别是 ， ， ， 15分
67（08湖北仙桃等4市25题）如图，直角梯形 中， ‖ , 为坐标原点，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，点 坐标为（2，2 ），∠ = 60°， 于点 .动点 从点 出发，沿线段 向点 运动，动点 从点 出发，沿线段 向点 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点 运动的时间为 秒.
（1） 求 的长；
（2） 若 的面积为 （平方单位）. 求 与 之间的函数关系式.并求 为何值时， 的面积最大，最大值是多少？
（3） 设 与 交于点 .①当△ 为等腰三角形时，求（2）中 的值.
②探究线段 长度的最大值是多少，直接写出结论.
（08湖北仙桃等4市25题解析）解：（1）∵ ‖
∴
在 中， ,
∴ ，
∴ 而
∴ 为等边三角形
∴ …（3分）
（2）∵
∴
∴
= （ ）…………………………（6分）
即
∴当 时， ………………………………………（7分）
（3）①若 为等腰三角形，则：
（i）若 ，
∴ ‖
∴ 即
解得：
此时 ………………………………（8分）
（ii）若 ，
∴
过 点作 ，垂足为 ，则有：
即
解得：
此时 ……………………………………（9分）
（iii）若 ，
∴ ‖
此时 在 上，不满足题意.……………………………………………（10分）
②线段 长的最大值为 ……………………………………………………(12分)
68（08湖南常德26题）如图9，在直线 上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O ,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列问题：
（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转900，请你在图中作出旋转后的对应图形
△A1B1C，并求出AB1的长度；
（2）翻折：将△A1B1C沿过点B1且与直线 垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形
△A2B1C1，试判定四边形A2B1DE的形状？并说明理由；
（3）平移：将△A2B1C1沿直线 向右平移至△A3B2C2，若设平移的距离为x，△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时,x的值是多少？
（08湖南常德26题解析）
解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°= ，
∴AB1=AC+C B1=AC+CB= .……………………………………2分
(2)四边形A2B1DE为平行四边形.理由如下：
∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1‖DE
又A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故结论成立.………………4分
（3）由题意可知：
S△ABC= ，
① 当 或 时，y＝0
此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半……………5分
②当 时，直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=（x－2）㎝，则y＝ ,
当y= S△ABC= 时，即 ，
解得 （舍）或 .
∴当 时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.
③当 时，△A3B2C2完全与等腰梯形重叠，即 ……………7分
④当 时,B2G=B2C2-GC2=2－( －8)=10-
则y＝ ,
当y= S△ABC= 时，即 ，
解得 ,或 (舍去).
∴当 时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………9分
由以上讨论知,当 或 时, 重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………10分
69（08宁夏区卷26题）如图，在边长为4的正方形 中，点 在 上从 向 运动，连接 交 于点 ．
（1）试证明：无论点 运动到 上何处时，都有△ ≌△ ；
（2）当点 在 上运动到什么位置时，△ 的面积是正方形 面积的 ；
（3）若点 从点 运动到点 ，再继续在 上运动到点 ，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△ 恰为等腰三角形．
（08宁夏区卷26题解析）（1）证明：在正方形 中，
无论点 运动到 上何处时，都有
= ∠ =∠ =
∴△ ≌△ 2分
(2)解法一：△ 的面积恰好是正方形ABCD面积的 时，
过点Q作 ⊥ 于 , ⊥ 于 ，则 =
= =
∴ = 4分
由△ ∽△ 得 解得
∴ 时，△ 的面积是正方形 面积的 6分
解法二：以 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点 作 ⊥ 轴于点 ， ⊥ 轴于点 ．
= = ∴ =
∵点 在正方形对角线 上 ∴ 点的坐标为
∴ 过点 （0，4）， ( 两点的函数关系式为：
当 时， ∴ 点的坐标为（2，0）
∴ 时，△ 的面积是正方形 面积的 ． 6分
（3）若△ 是等腰三角形，则有 = 或 = 或 =
①当点 运动到与点 重合时，由四边形 是正方形知 =
此时△ 是等腰三角形
②当点 与点 重合时，点 与点 也重合，
此时 = , △ 是等腰三角形 8分
③解法一：如图，设点 在 边上运动到 时，有 =
∵ ‖ ∴∠ =∠
又∵∠ =∠ ∠ =∠
∴∠ =∠
∴ = =
∵ = = =4
∴
即当 时，△ 是等腰三角形 10分
解法二：以 为原点建立如图所示的直角坐标系，设点 在 上运动到 时，有 = ．
过点 作 ⊥ 轴于点 ， ⊥ 轴于点 ,则
在 △ 中， ，∠ =45°
∴ = °=
∴ 点的坐标为（ ， ）
∴过 、 两点的函数关系式： +4
当 =4时， ∴ 点的坐标为（4，8-4 ）．
∴当点 在 上运动到 时，△ 是等腰三角形． 10分
70（08上海市卷25题）（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）
已知 ， ， （如图13）． 是射线 上的动点（点 与点 不重合）， 是线段 的中点．
（1）设 ， 的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段 为直径的圆与以线段 为直径的圆外切，求线段 的长；
（3）联结 ，交线段 于点 ，如果以 为顶点的三角形与 相似，求线段 的长．
（08上海市卷25题解析）解：（1）取 中点 ，联结 ，
为 的中点， ， ． （1分）
又 ， ． （1分）
，得 ； （2分）（1分）
（2）由已知得 ． （1分）
以线段 为直径的圆与以线段 为直径的圆外切，
，即 ． （2分）
解得 ，即线段 的长为 ； （1分）
（3）由已知，以 为顶点的三角形与 相似，
又易证得 ． （1分）
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：① ；② ．
①当 时， ， ． ．
，易得 ．得 ； （2分）
②当 时， ， ．
．又 ， ．
，即 ，得 ．
解得 ， （舍去）．即线段 的长为2． （2分）
综上所述，所求线段 的长为8或2．
不好意思! 图上不来啊！
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