2009中考数学压轴题精选
2009年9月11日星期五
1、（四川省达州市）如图11，抛物线 与 轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.
(1)求a的值及直线AC的函数关系式；
(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.
2、（四川省资阳市）如图9，已知抛物线y= x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．
(1) (3分) 求直线l的函数解析式；
(2) (3分) 求点D的坐标；
(3) (3分) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（四川省绵阳市）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；
（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．
4、（四川省眉山市）已知：直线 与 轴交于A，与 轴交于D，抛物线 与直线交于A、E两点，与 轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在 轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使 的值最大，求出点M的坐标．
5、（四川省成都市）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y= 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为 ,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝ 。
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?
6、（四川省广安市）已知：抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA<OC）是方程 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 ．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），
过点D作DE‖BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为
m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自
变量m的取值范围． S是否存在最大值？若存在，求出最
大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
7、（四川省南充市）如图9，已知正比例函数和反比例函数的图
象都经过点 ．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点 ，求 的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与 轴、 轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积 与四边形OABD的面积S满足： ？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
8、（四川省凉山州）如图，已知抛物线 经过 ， 两点，顶点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将 绕点 顺时针旋转90°后，点 落到点 的位置，将抛物线沿 轴平移后经过点 ，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 轴的交点为 ，顶点为 ，若点 在平移后的抛物线上，且满足 的面积是 面积的2倍，求点 的坐标．
9、（四川省乐山市）如图（16），在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与 轴交于 两点， 为抛物线的顶点， 为坐标原点．若 的长分别是方程 的两根，且
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点 作 交抛物线于点 ，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点 任作直线 交线段 于点 求 到直线 的距离分别为 ，试求 的最大值．
10、（四川省泸州市）如图12，已知二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，
与y轴相交于点C，且 ．
(1)求c的值；
(2)若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；
(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11、（2008四川省广安市）如图10，已知抛物线 经过点（1，-5）和（-2，4）
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）设此抛物线与直线 相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于 轴的直线 与抛物线交于点M，与直线 交于点N，交 轴于点P，求线段MN的长（用含 的代数式表示）．
（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在 的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
12、（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系 中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为 ，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
附：参考答案
1、（四川省达州市）
解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分
∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）
设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b
6=-2k+b解得 k=-2
b=2
∴直线AC为y=-2x+2（2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4分
∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92
=-2a+122+92
∴当a=-12时，PM的最大值为92
②M1（0，6）
M2-14，678
2、（四川省资阳市）
(1) 配方,得y= (x–2)2 –1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1) ． 1分
取x=0代入y= x2 –2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)． 2分
设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有
解得 ∴直线l的解析式为y=x–3． 3分
(2) 连结AD交O′C于点E，∵ 点D由点A沿O′C翻折后得到，∴ O′C垂直平分AD．
由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴ 在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴ O′C=2 ．
据面积关系，有 ×O′C×AE= ×O′A×CA，∴ AE= ，AD=2AE= ．
作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴ ，
∴ AF= •AC= ，DF= •O′A= ， 5分
又 ∵OA=1，∴点D的纵坐标为1– = – ，∴ 点D的坐标为( ，– )． 6分
(3) 显然，O′P‖AC，且O′为AB的中点，
∴ 点P是线段BC的中点，∴ S△DPC= S△DPB ．
故要使S△DQC= S△DPB，只需S△DQC=S△DPC ．
7分
过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC ，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．
容易求得过点C(0，–3)、D( ，– )的直线的解析式为y= x–3，
据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y= x– ．
令 x2–2x＋1= x– ，解得 x1=2，x2= ，代入y= x– ，得y1= –1，y2= ，
因此，抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2( ， )，使得S△DQC= S△DPB． 9分
(仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣1分)
3、（四川省绵阳市）
（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形．
如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE．
∴ ∠EGO = 45，从而 ∠AGE = 135．
由BF是外角平分线，得 ∠EBF = 135，∴ ∠AGE =∠EBF．
∵ ∠AEF = 90，∴ ∠FEB +∠AEO = 90．
在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90，
∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．
（2）假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．
由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴ FH = OE，EH = OA．
∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a．
由BF是外角平分线，知∠FBH = 45，∴ BH = FH = a．
又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，
∴ EH = m－a + a = m．
又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾．
因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．
（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a．
由 ∠AEF = 90，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，
∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，
且 ，即 ，
整理得 nh = ah + am－a2，∴ ．
把h =（t + 1）a 代入得 ，
即 m－a =（t + 1）（n－a）．
而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．
化简得 ta = n，解得 ．
∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB边上．
∴当E在OB边上且离原点距离为 处时满足条件，此时E（ ，0）．
4、（四川省眉山市）
（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入 得
解得
∴抛物线的解折式为 ． （2分）
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为
则E（ ， ）．
又∵点E在直线 上，
∴ ．
解得 （舍去）， ．
∴E的坐标为（4，3）． （4分）
（Ⅰ）当A为直角顶点时
过A作 交 轴于 点，设 ．
易知D点坐标为（ ，0）．
由 得
即 ，∴ ．
∴ ． （5分）
（Ⅱ）同理，当 为直角顶点时， 点坐标为（ ，0）． （6分）
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作 轴于 ，设 ．
由 ，得 ．
．
由 得 ．
解得 ， ．
∴此时的点 的坐标为（1，0）或（3，0）． （8分）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（ ，0）或（1，0）或（3，0）或（ ，0）
（Ⅲ）抛物线的对称轴为 ． （9分）
∵B、C关于 对称，
∴ ．
要使 最大，即是使 最大．
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时 的值最大． （10分）
易知直线AB的解折式为 ．
∴由 得 ∴M（ ，－ ）． （11分）
5、（四川省成都市）
6、（四川省广安市）解：（1）∵OA、OC的长是x2－5x+4=0的根，OA<OC
∴OA=1，OC=4
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴
∴A（－1，0） C（0，－4）
∵抛物线 的对称轴为
∴由对称性可得B点坐标为（3，0）
∴A、B、C三点坐标分别是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）
（2）∵点C（0，－4）在抛物线 图象上 ∴
将A（－1，0），B（3，0）代入 得 解之得
∴ 所求抛物线解析式为：
（3）根据题意， ，则
在Rt△OBC中，BC= =5
∵ ，∴△ADE∽△ABC
∴
∴
过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=
∴
∴EF= DE= =4－m
∴S△CDE=S△ADC－S△ADE
= （4－m）×4 （4－m）（ 4－m）
= m2+2m（0<m<4）
∵S= （m－2）2+2， a= <0
∴当m=2时，S有最大值2.
∴点D的坐标为（1，0）.
7、（四川省南充市）
解：（1）设正比例函数的解析式为 ，
因为 的图象过点 ，所以
，解得 ．
这个正比例函数的解析式为 ． （1分）
设反比例函数的解析式为 ．
因为 的图象过点 ，所以
，解得 ．
这个反比例函数的解析式为 ． （2分）
（2）因为点 在 的图象上，所以
，则点 ． （3分）
设一次函数解析式为 ．
因为 的图象是由 平移得到的，
所以 ，即 ．
又因为 的图象过点 ，所以
，解得 ，
一次函数的解析式为 ． （4分）
（3）因为 的图象交 轴于点 ，所以 的坐标为 ．
设二次函数的解析式为 ．
因为 的图象过点 、 、和 ，
所以 （5分） 解得
这个二次函数的解析式为 ． （6分）
（4） 交 轴于点 ， 点 的坐标是 ，
如图所示，
．
假设存在点 ，使 ．
四边形 的顶点 只能在 轴上方， ，
．
， ． （7分）
在二次函数的图象上，
．
解得 或 ．
当 时，点 与点 重合，这时 不是四边形，故 舍去，
点 的坐标为 ． （8分）
8、（四川省凉山州）解：（1）已知抛物线 经过 ，
解得
所求抛物线的解析式为 ． 2分
（2） ， ，
可得旋转后 点的坐标为 3分
当 时，由 得 ，
可知抛物线 过点
将原抛物线沿 轴向下平移1个单位后过点 ．
平移后的抛物线解析式为： ． 5分
（3） 点 在 上，可设 点坐标为
将 配方得 ， 其对称轴为 ． 6分
①当 时，如图①，
此时
点的坐标为 ． 8分
②当 时，如图②
同理可得
此时
点 的坐标为 ．
综上，点 的坐标为 或 ．-----------------10分
9、（四川省乐山市）
解：（1）解方程 得
，而
则点 的坐标为 ，点 的坐标为
1分
过点 作 轴于 则 为 的中点．
的坐标为
又因为
的坐标为 2分
令抛物线对应的二次函数解析式为
抛物线过点
则 得
故抛物线对应的二次函数解析式为 （或写成 ） 4分
（2） 5分
又
令点 的坐标为 则有 6分
点 在抛物线上， 7分
化简得 解得 （舍去）．
故点 的坐标为 8分
（3）由（2）知 而
9分
过 作
10分
11分
即此时 的最大值为 13分
10、（四川省泸州市）
11、（2008四川省广安市）
12、（重庆市）
解：（1）由已知，得 ， ，
，
．
． （1分）
设过点 的抛物线的解析式为 ．
将点 的坐标代入，得 ．
将 和点 的坐标分别代入，得
（2分）
解这个方程组，得
故抛物线的解析式为 ． （3分）
（2） 成立． （4分）
点 在该抛物线上，且它的横坐标为 ，
点 的纵坐标为 ． （5分）
设 的解析式为 ，
将点 的坐标分别代入，得
解得
的解析式为 ． （6分）
， ． （7分）
过点 作 于点 ，
则 ．
，
．
又 ，
．
．
． （8分）
．
（3） 点 在 上， ， ，则设 ．
， ， ．
①若 ，则 ，
解得 ． ，此时点 与点 重合．
． （9分）
②若 ，则 ，
解得 ， ，此时 轴．
与该抛物线在第一象限内的交点 的横坐标为1，
点 的纵坐标为 ．
． （10分）
③若 ，则 ，
解得 ，
，此时 ， 是等腰直角三角形．
过点 作 轴于点 ，则 ，设 ， ．
．解得 （舍去）．
． （12分）
综上所述，存在三个满足条件的点 ，
即 或 或 ．
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