如图，⊙M过坐标原点O，分别交两坐标轴于A（1，O），B（0，2）两点，直线CD交x轴于点C（6，0），交y轴于

Question

如图，⊙M过坐标原点O，分别交两坐标轴于A（1，O），B（0，2）两点，直线CD交x轴于点C（6，0），交y轴于点D（0，3），过点O作直线OF，分别交⊙M于点E，交直线CD于点F．（1）求证：∠CDO=∠BAO；（2）求证：OE?OF=OA?OC；（3）若OE= ，试求点F的坐标． D
D

Answer 1

(1)证明见解析 证明见解析 F的坐标为：（2，2）或（ ， ）．

试题分析：（1）由已知可得tan∠CDO=tan∠BAO所以∠CDO=∠BAO， （2）连接AE，由圆周角相等则有∠AEO=∠ABO，由（1）则有∠AEO=∠OCD则有△OCF∽△OEA．再利用比例式即可证得． （3）由（2）可求得OF的长度，因为点F要直线CD上，则可设F（x，y），则可得到关于x，y的方程组，解方程组即可得出点F的坐标 试题解析：（1）如图：∵C（6，0），D（0，3）， ∴tan∠CDO= =2， ∵A（1，O），B（0，2）， cot∠BAO= =2， ∴∠CDO=∠BAO， （2）如图，连接AE， 由（1）知∠CDO=∠BAO， ∴∠OCD=∠OBA， ∵∠OBA=∠OEA， ∴∠OCD=∠OEA， ∴△OCF∽△OEA， ∴ ∴OE?OF=OA?OC； （3）由（2）得OE?OF=OA?OC， ∵OA=1，0C=6，OE= ， ∴OF= 设F（x，y） ∴x 2 +y 2 =8， ∵直线CD的函数式为：y=﹣ x+3 ∴组成的方程组为 ， 解得 或 ∴F的坐标为：（2，2）或（ ， ）．