设an=(2^n)/n。∵ρ=lim(n→∞)(an+1)/an=2lim(n→∞)n/(n+1)=2，∴收敛半径R=1/ρ=1/2。
又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)丨[(2x)^(n+1)]/(n+1)/[(2x)^n)/n丨=丨x丨/R<1，
∴其收敛区间为，丨x丨<R=1/2。而，x=1/2，∑[(2x)^n]/n=∑1/n是调和级数，发散；x=-1/2时，∑[(2x)^n]/n=∑[(-1)^n]/n,，是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛。∴其收敛域为，-1/2≤x<1/2。
设S(x)=∑[(2x)^n]/n。两边对x求导、在其收敛区间内，有S'(x)=2∑(2x)^(n-1)=2/(1-2x)。
∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=-ln(1-2x)。
供参考。
又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)丨[(2x)^(n+1)]/(n+1)/[(2x)^n)/n丨=丨x丨/R<1，
∴其收敛区间为，丨x丨<R=1/2。而，x=1/2，∑[(2x)^n]/n=∑1/n是调和级数，发散；x=-1/2时，∑[(2x)^n]/n=∑[(-1)^n]/n,，是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛。∴其收敛域为，-1/2≤x<1/2。
设S(x)=∑[(2x)^n]/n。两边对x求导、在其收敛区间内，有S'(x)=2∑(2x)^(n-1)=2/(1-2x)。
∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=-ln(1-2x)。
供参考。
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第1个回答 2019-06-05
如图，这是这道题的过程，一步一步按照常规方法做就好了
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