困惑：1-1/2+1/3-1/4+1/5-........=？

Question

设x=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+.....+1/n
x1=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+....=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+..)/2=x/2
x2=1+1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+........
所以x2=x-x1=x-x/2=x/2
x2=1+1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+........ =x/2
x1=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+....=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+..)/2=x/2
两式相减x2-x1=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+....=0
但是1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+....=(1-1/2)+(1/3-1/4)+(1/5-1/6)+(1/7-1/8)+....>>0
这是怎么回事呢？

Answer 1

这个问题在学习高等数学之前确实令人困惑，问题的关键之处在于无穷项求和没有通常有限项下的的加法交换律和结合律。
我们先举一个简单的例子：
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ……
这个无穷级数如果使用结合律，似乎可以得到：
S1 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ……
= 0 + 0 + 0 + 0 + ……
= 0
但同样用结合律，又似乎可以得到：
S2 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ……
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + ……
= 1
这就出现了矛盾！
如果承认加法交换律，形势将更加严峻。
比如说，我们先把上面式子中的第1个负数项调换到第2个正数项后，再把第2个负数项调换到第4个正数项后，再把第3 个负数项调换到第6个正数项后，……就有
S3 = 1 + 1 - 1 + 1 + 1 - 1 + 1 + 1 - 1 + ……
无论如何（不管怎样再用结合律运算或者一项一项相加来看），这个级数的和都是趋于正无穷大的。又出现矛盾！
事实上，无穷项求和的运算法则十分不同于有限项的求和，尤其是这些兼有正、负项的级数，不能随意使用加法的结合律和交换律。对它们的严格运算和表述，应该依赖于分析学中的“ε-N”语言，以后如果学到，就会明白如何运算。顺便说一句，上面的级数S是不存在极限的，换句话说，它不等于任何数。

再纠正一下dingzs的一点问题。dingzs在概念上有些混淆，把无穷多项这个“无穷多”和求和结果的“无穷大”混淆了。前者是集合论中的无穷基数问题，后者则是一个分析学中的极限概念。所谓“无穷多”或者说无穷基数，是指一个无穷集合的元素“个数”（集合论中叫做“基数”）；而“无穷大”是指一个变量，或一个数列的不断增大的“趋势”，其内涵是“无界”（就是没有最大，只有更大），不是一个确切的数。

无穷基数有无穷基数的运算，它们可以比较“大小”，可以求和、求幂。
无穷大，作为一个极限，可以有极限的运算，它们可以相加、相乘（结果仍是无穷大），相减没有定义，相除值不定（可能是无穷大、无穷小或有限数），等等。

Answer 2

楼上的理解是错的，楼主的问题里面有无穷多项，不能用n = 10代入。

这个推理过程没有任何错误，关键是对无穷大的理解不够。

第一个式子的结果是无穷大，（或者说 X 是一个发散的数项级数）

X1 ＝ X/2 这个式子是对的，但是 X1 的结果其实也是无穷大，同样 X2 也是无穷大。

所以这个问题的实质是：无穷大减去无穷大引起了悖论。

实际上，无穷大的运算一般是不允许做减法的，那样会有很多悖论。

举一个别的例子，画一个三角形ABC，做它的一个中线DE平行于BC，
那么我们可以说，中线上的点和对应底边上的点的个数是相同的，虽然它的长度是底边的一半。
证：任意在底边BC找一个点，连接顶点A与这个点，肯定与中线交于一点，这就是说，底边上每一个点都仅有一个中线上的点与它对应，
类似地，先在中点上找一个点，连接顶点A与这个点，延长线交底边于仅有的一点。
所以他们上面点是一一对应的，个数是相同的。
用N(bc)表示BC边上的点的个数，N（de)表示DE边上点的个数。
则 N（bc） ＝ N（de）。但是BC的长度是DE长度的两倍，按常规，它上面的点应该比DE上的点多才对。
即：无穷大×2 ＝ 无穷大

无穷大也分大小，依据是这两个无穷大是否能建立一一对应，
如果不能建立一一对应，那么两个无穷大是不能比较大小的，这时候做减法没有意义。谁也不知道结果是什么。。。

对于无穷大的理解是数学发展史上比较重要的内容，建议楼主买本数学史看看，如果感兴趣的话。

参考资料：不敢冒称原创，都是老师教的 ：)

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Answer 3

x1算错了，不等于x/2
"x1=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+....=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+..)/2=x/2 "
这个等式中的括号里面的项数只有x的一半，不能等于x

简单的举个例子，n=10的情况代进去试一下就知道了。

Answer 4

lim n→∞∑(-1)^(n-1)/n=ln2
lim n→∞∑(-1)^(n-1)/n是条件收敛级数，不是绝对收敛级数．故交换无限多项会影响其和．

Answer 5

milksea说的有道理，做教师应该没问题，概念吃的透！