随机变量（X，Y）的联合概率密度分别如下：

Question

设随机变量（X，Y）的联合概率密度分别如下：
f（x，y）={ke^-（3x+4y）} ,x,y>0
0 其他 　 　
求（1）系数k; (2) P(XY); (3) E(XY).

Answer 1

随机变量（X，Y）的联合概率密度分别如下：
f（x，y）={ke^-(3x+4y)} ,x,y>0
0 其他 　
(1) ∫∫ f(x,y)dxdy=1
所以∫(0,∞)∫(0,∞) k*e^-(3x+4y) dxdy
=k*∫(0,∞) dx ∫(0,∞)e^-(3x+4y)dy
=k*∫(0,∞) dx (-1/4)*e^(-3x-4y) (0,∞)
=k/4*∫(0,∞) e^(-3x) dx
=k/4*(-1/3)*e^(-3x) (0, ∞)
=k/12
所以k=12

(2)P(XY)是求什么

(3)E(XY)=∫∫ xy*f(x,y)dxdy
=12∫(0, ∞) x*e^(-3x) dx ∫(0, ∞) y*e^(-4y) dy
这里 ∫(0, ∞) x*e^(-3x) dx
=(-1/3)∫(0, ∞) x*d(e^(-3x) )
=(-1/3)*x*e^(-3x) (0, ∞)+1/3*∫(0, ∞) e^(-3x) dx
=1/3*(-1/3)*e^(-3x) (0, ∞) =1/9
同样 ∫(0, ∞) y*e^(-4y) dy=1/16
所以E(XY) =12∫(0, ∞) x*e^(-3x) dx ∫(0, ∞) y*e^(-4y) dy=12*1/9*1/16=1/12追问

哦，忘啦，（2)P(X大于等于Y)

追答

P(X>=Y)
=∫(0,∞)∫(0,x) 12e^-(3x+4y) dxdy
=12∫(0,∞) e^(-3x)dx ∫(0,x) e^(-4y)dy
=12∫(0,∞) e^(-3x)dx (-1/4)*e^(-4y) (0,x)
=3*∫(0,∞) e^(-3x)*(1-e^(-4x))dx
=3*∫(0,∞) (e^(-3x)-e^(-7x))dx
=3*[(-1/3)e^(-3x)-(-1/7)e^(-7x)] (0,∞)
=3*(1/3-1/7)
=4/7