用尺规作图如何三等分一个角

Question

任意角

Answer 1

第一步：给定角120°，如图1：

第二步：以点O为圆心，以任意长O a1为半径画弧，分别与角的两边交于点a1点b1。再以点O为圆心，以3倍Oa1长为半径画弧，分别与角的两边交于点A1、点B1。如图2：

第三步：将∠A1 OB1分为四等分。∠A1 OC1＝∠C1 OD1＝∠D1 OE1＝∠E1OB1＝30°，如图3：

第四步：画出∠A1OC1、∠C1OD1的平分线。与弧a1b1分别交于点h、点g如图4：

第五步：

1、 过点A1及点C1，作直线A1C1；

2、 过点a1作直线A1C1的垂直线与弧A1C1交于点A2；

如图5：

第六步：

1、过点O及点A2作直线O A2，与弧a1b1交于点a2；

2、以点h为圆心，以点h至点a2的距离为半径画弧，与弧a1b1交于点a3；

3、过点A2及点C1作直线A2 C1

4、过点a3作直线A2C1点垂直线，与弧A2C1交于点A3；图6：

第七步：

1、以点C1为圆心，以C1A3距离长为半径画弧，与弧C1D1交于点A3′；

2、 过点A3′及点D1作直线D1 A3′；

3、 过点O及点A3′作直线O A3′与弧a1b1交于点a3′；

4、  以点g为圆心，以点g至点a3′距离为半径画弧，交弧a1b1于点a4；

5、  过点a4作线段 D1 A3′的垂直线，与弧D1 A3′交于点A4，至此，弧D 1A4 ＝（1/3）弧D1C1＝（1/12）弧A1B1，如图7：

第八步：

1、 以点D1为圆心，以D1A4距离长为半径画弧，与弧D1E1交于点A4′;

2、 过点A4′、点E1，作直线A4′E1 ；

3、 过点O、作直线A4′E1的垂直线与弧A4′E1交于点A5；如图8.1：

Answer 2

三等分角问题（trisection of an angle）是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即 用圆规与直尺把一任意角三等分。问题的难处在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺 （没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。这问题曾吸引着许多人去研究，但都无一成功。1837年凡齐尔（ 1814－1848）运用代数方法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。
在研究「三等分角」的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。人们还发现，只要放弃「尺 规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基米得（前287－前212）发现只要 在直尺上固定一点，问题就可解决了。现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点P，命尺端为O。 设所要三等分的角是∠ACB，以C为圆心，OP为半径作半圆交角边于A，B；使O点在CA延在线移 动，P点在圆周上移动，当尺通过B时，连OPB（见图）。由于OP＝PC＝CB，所以∠COB＝∠AC B／3。这里使用的工具已不限于标尺，而且作图方法也与公设不合。

另有一机械作图的方法可以三等分角，简介如下：
如右图：ABCD为一正方形，设AB均匀向CD平行移动，AD以D为中心依顺时针方向转到DC，若AB抵达DC时DA也恰好抵达DC，则他们交点的轨迹AO即曲线称为三分线。
令A是AC弧上的任一点，我们要三等分 ADC，设DA与三分线AO交于R，过R作AB之并行线交AD、BC于A、B，令T、U是AD之三等分点，过T、U作AB之并行线交三分线AO于V、W，则DV、DW必将 ADC三等分。

参考资料：www2.emath.pu.edu.tw/s8805106/hippias-all.htm

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Answer 3

古希腊三大几何问题之一。

三等分任意角的题也许比另外两个几何问题出现更早，早到历史上找不出有关的记载来。但无疑地它的出现是很自然的，就是我们自己在现在也可以想得到的。纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法，正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心，用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点，再分别以这两点为圆心，用一个适当的长作半径画弧，这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分。二等分一个已知角既是这么容易，很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢？这样，这一个问题就这么非常自然地出现了。

现已证明，在尺规作图的前提下，此题无解。

如何尺规三等分任意已知角，这个问题连阿基米德都没有解答出来。

Answer 4

此题无解，人们用了多种方法，都解不出来，只有特殊的角才能三等分，现今人们已用反证法证出了它是做不出来的。

Answer 5

现已证明，在尺规作图的前提下，此题无解。