两个随机变量想x,y都服从正态分布N（0，σ），问下x/y服从什么分布及其相关参数

Question

如题所述

Answer 1

分两种情况讨论

当X,Y不相互独立时
分布函数法
令Z=X/Y
则F(z)=P(Z<=z)=P(X/Y<=z)
当Y>0时，F(z)1=P(Z<=z)=P(X/Y<=z)=P(X<=Yz)=∫∫f(x,y)dxdy,前面的积分上下限是正无穷和0，后面的积分下上限是负无穷和yz
当Y<0时，F(z)2=P(Z<=z)=P(X/Y<=z)=P(X>=Yz)=∫∫f(x,y)dxdy，前面的积分上下限是负无穷和0，后面的积分下上限是yz和正无穷
F(z)=F(z)1+F(z)2
f(z)=∫|y|f(yz,y)dy,积分下上限是负无穷和正无穷
不独立时，不清楚是什么分布

当X,Y相互独立时，Z=X/Y的概率密度是
f(z)=∫|y|fx(yz)*fy(y)dy=1/[π（1+z^2)],z取到所有实数,积分下上限是负无穷和正无穷

可知Z服从柯西分布，期望和方差均不存在

解毕追问

我知道是柯西分布，我主要想知道柯西分布的位置参数和尺度参数与正态分布的期望和标准差有什么关系？