如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连接DP交AC于点Q.
(1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ;
(2)当点P在AB上运动到什么位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的1/6;
(3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,△ADQ恰为等腰三角形.
(1) ∵AQ=AQ , ∠DAC=∠CAB=45, AB=AD , ∴△ADQ≌△ABQ
(2)QE是ΔADQ的高,AD*EQ/2=4*4/6,EQ=4/3
∵EQ∥AP1,AE=EQ=4/3,DE=4-4/3=8/3
∴AP1/AD=EQ/ED
AP1=4*(4/3)/(8/3)=2
即点P运动到AB的中点位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的1/6;
(3)如图易知当点P运动到B、C点时,ΔADQ1和ADQ3都是等腰三角形。
若AD=AQ2=4时,ΔADQ2也是等腰三角形
此时CQ2=4√2-4,FQ2=FC=4-2√2,
CP2/FP2=FQ2/DC
CP2/(CP2-4+2√2)=4/(4-2√2)
解得CP2=4√2-4
即P2运动到距C (4√2-4)时ΔADQ2是等腰三角形。