解答:(1)证明:在正方形ABCD中,
无论点P运动到AB上何处时,都有
AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,
∴△ADQ≌△ABQ;
(2)解法一:△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的
时,
过点Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F,则QE=QF,
∵在边长为4的正方形ABCD中,
∴S
正方形ABCD=16,
∴
AD×QE=
S
正方形ABCD=
×16=
,
∴QE=
,
∵EQ∥AP,
∴△DEQ∽△DAP,
∴
=,即
=
,
解得AP=2,
∴AP=2时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
;
解法二:以A为原点建立如图所示的直角坐标系,过点Q作QE⊥y轴于点E,QF⊥x轴于点F.
AD×QE=
S
正方形ABCD=
×16=
,
∴QE=
,
∵点Q在正方形对角线AC上,
∴Q点的坐标为(
,
),
∴过点D(0,4),Q(
,
)两点的函数关系式为:y=-2x+4,
当y=0时,x=2,
∴P点的坐标为(2,0),
∴AP=2时,即当点P运动到AB中点位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
;
(3)解:若△ADQ是等腰三角形,则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,
①当AD=DQ时,则∠DQA=∠DAQ=45°
∴∠ADQ=90°,P为C点,
②当AQ=DQ时,则∠DAQ=∠ADQ=45°,
∴∠AQD=90°,P为B,
③AD=AQ(P在BC上),
∴CQ=AC-AQ=
BC-BC=(
-1)BC
∵AD∥BC
∴
=
,即可得
=
=1,
∴CP=CQ=(
-1)BC=4(
-1)
综上,P在B点,C点,或在CP=4(
-1)处,△ADQ是等腰三角形.