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已知定义在R上的偶函数f(x )在区间(0,+∞)上是单调增函数。求证函数在(-∞,0)上是单调减函数
如题所述
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推荐答案 2012-11-09
设X2>X1,且X1,X2>0,
因为,F(x)在(0,+∞)上是单调增函数,
所以,F(x2)>F(X1),
又因为,F(x )为偶函数,即F(-X)=F(X)
所以,F(-X2)=F(X2),F(-X1)=F(X1),
所以,F(-X2)>F(-X1),
则,f(x )在区间(-∞,0)上是单调减函数。
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其他回答
第1个回答 2012-11-04
f(x )在区间(0,+∞)上是单调增函数
就是当x2>x1>0时有f(x2)>f(x1)
又偶函数
所以f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1)
从而也就f(-x2)>f(-x1)
但-x2<-x1<0
也就是当-x2<-x1<0
有f(-x2)>f(-x1)
所以在(-∞,0)上是单调减函数
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第2个回答 2012-11-04
证明:任取x1<x2<0,则有:-x1>-x2>0
因为:fx在(0,到正无穷)上是增函数
所以:f(-x1)>f(-x2)
又因为:f(x)是定义域是R的偶函数
所以:f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)
所以,有:f(x1)>f(x2)
所以:f(x)在(负无穷,0)上是减函数.
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