一个数论思考题：有多个这样的四位数,把他重复写上2008遍后形成一个8032位数,他除以1001余123

Question

如题所述

Answer 1

首先要知道1001=7X11X13
再就是被1001整除的数的性质：从数字的右边（末位）到左边，每3位数分一段（前面的可以只剩2位或者1位）然后将奇数段的和与偶数段的数的和做差，如果差能被1001整除，则能被1001整除。
举例：数字ABCDEFGH, 则看FGH-CDE+AB ，如能被1001整除，则原数能被1001整除
最后要知道被11整除的性质：从数字末位到首位，奇数位的和与偶数位的和的差能被11整除，则原数能被11整除。
这样就可以开始算这个题目了。将这个题目转换下，那个8032位数除以1001余123也就是除以11余（先余123，123除11余2）2。
设这个4位数为ABCD（整体），则有ABCDABCDABCD...ABCD -2能被11整除。
所以应该满足：2008x((B+D)-(A+C))-2=11n (n为整数)
解得：(B+D)-(A+C)=4 或 15 或 -7或 -18
再用原题，ABCDABCDABCD....ABCD-123 能被1001整除
则有(BCD-123)-CDA+DAB-ABC+668(BCD-CDA+DAB-ABC)+BCD-A能被1001整除。(这里每3个ABCD一个循环，除去第1组3个ABCD还有2005个，故还有668组余1个ABCD，所以为上式)
上式可以化简为669(BCD-CDA+DAB-ABC)+BCD-A-123 =1001n (n为整数)
由于ABC=100A+10B+C 按照此模式，可以将上面括号内化简为：
669（-91A+91B-91C+91D）+BCD-A-123=1001n (n为整数)
669X91X((B+D)-(A+C))+BCD-A-123=1001n 分出能被1001整除的部分，则有
1001X60((B+D)-(A+C))+819((B+D)-(A+C))+BCD-A-123=1001n
因此，只需要后面819((B+D)-(A+C))+BCD-A-123=1001n即可
计算4种情况：
第1将：(B+D)-(A+C)=4 代入上式，则有
819X4+BCD-A-123=1001n
即273+BCD-A-123=1001(n-3)
所以BCD-A+150=1001m （m为整数）
因为BCD在0到999之间，即BCD+150在150到1149之间，再减去一个1到9的数，由此可知，此种情况m只能取1，此时便有BCD-A=851,
解得ABCD=1852 、2853、3854、4855、5856、6857、7858、8859
（9860舍弃不符合 (B+D)-(A+C)=4）
第2，将：(B+D)-(A+C)=15代入原式，则有
819X15+BCD-A-123=1001n
即273+BCD-A-123=1001(n-12)
所以BCD-A+150=1001m （m为整数）
同第一种情况有BCD-A=851, 可知上面9种解都不符合(B+D)-(A+C)=15
第3，将：(B+D)-(A+C)=-7代入，则有
819X(-7)+BCD-A-123=1001n
即-728+BCD-A-123=1001(n+5)
也可化简为BCD-A+150=1001(n+6)
同第一种情况可以知道，第1种情况舍弃的9860满足：(B+D)-(A+C)=-7，故此情况有一解。
第4：(B+D)-(A+C)=-18，同理可以知道，此情况无解。
综上所述，共有9种这样的数,分别为：
1852 、2853、3854、4855、5856、6857、7858、8859 、9860

验算：（只需要满足被1001整除的性质，即可证明答案正确）
取答案6857，则8032位数为：6857 6857 6857 6857......6857 6857
此数字减去123后要能被1001整除，即6857 6857 6857 6857......6857 6734能被1001整除。
此时需满足734-576+768-685+（857-576+768-685）X668+857-6 能被1001整除
(前面4个3位数消耗了3个四位数，还剩2005个，即有668组加1个4位数)
上式为 241+364X668+857-6=244244 此数一定能被1001整除 （也可以用性质验证244-244=0）
故6857是正解

Answer 2

设四位数是N
则N*100010001...0001（2008个1)
=N(10000^2007+10000^2006+...+10000^2+10000+1)
=N（10000^2008-1）/9999
＝N（10^2008-1)/9999(显然还是整数)
=N(1000^668*10000-1)/9999(显然还是整数)
=N(10000-1)/9999(显然还是整数)
=N
=123(mod 1001)
N可以是1001+123, 2002+123, .。。。。。。。。。 9009+123本回答被网友采纳

Answer 3

晕倒, 位数当然是2008*4=8032
x/1001=a+123/1001
a=1, x=1001+123=1234
a=2, x=2125
a=3, x=3126
a=4, x=4127
a=5,x=4128
a=6,x=6129
a=7, x=7130
a=8,x=8131
a=9,x=9132