第一个问题:
△AEF是等边三角形。 证明如下:
∵ABCD是菱形、∠B=60°,∴∠D=∠B=60°、AD=CD,
∴△ACD是等边三角形,∴∠ACF=60°。
∵ABCD是菱形、∠B=60°,∴∠ECF=120°。
由∠EAF=60°、∠ECF=120°,得:A、E、C、F共圆,∴∠AEF=∠ACF=60°。
∵∠EAF=∠AEF=60°,∴△AEF是等边三角形。
第二个问题:
四边形AECF的面积=√3。 证明如下:
在AC上取点G,使CG=CF。
∵CG=CF、∠GCF=60°,∴△CFG是等边三角形,∴GF=CF=CG、∠CGF=60°,
∴∠AGF=120°。
∵△AEF是等边三角形,∴∠AFE=60°、AF=EF。
∵A、E、C、F共圆,∴∠ACE=∠AFE=60°、∠FAG=∠FEC。
由AF=EF、∠FAG=∠FEC、∠AGF=∠ECF=120°,得:△AGF≌△ECF,∴AG=EC,
∴AC=AG+CG=AG+CF=EC+CF。
于是:
四边形AECF的面积
=△ACE的面积+△ACF的面积
=(1/2)AC×ECsin∠ACE+(1/2)AC×CFsin∠ACF
=(1/2)AC(ECsin60°+CFsin60°)
=(1/2)AC(EC+CF)sin60°
=(1/2)AC^2×(√3/2)
=(√3/4)AC^2。
∵∠B=∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=2,∴AC^2=4。
∴四边形AECF的面积=(√3/4)×4=√3。
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