初三数学，几何题求详解
如图一，四边形ABCD是正方形，G是CD边上一动点（G不与C、D重合），以CG为一边的正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG,DE.探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系。
（1）①猜想图一中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系。
②将图一中的张方形CEFG绕C顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α,得到如图二、如图三情形。请通过观察、测量等方式判断①中得到的结论是否依然成立，并选取图二证明。
（2）将原题中正方形改为矩形（如图四，图五，图六），且AB=a，BC=d，CE=ka，CG=kb，（a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论那些成立，那些不成立？若成立，以图五为例简要说明。
解答：（1）①猜想BG=DE,且二者所在的直线相互垂直。
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形。
∴BC=DC,CG=CE,∠BCG=∠DCE=90°
∴△BCG∽△DCE
故BG=CE,∠BGC=∠DEC
又∠BGC+∠CBG=90°
∴∠DEC+∠CBG=90°
BG与DE所在直线被BC所在直线所截，形成的同旁内角互为余角，则直线BG⊥DE.
②任然成立。
证明：如图二所示，在正方形ABCD与CEFG中，∠BCD=∠GCE=90°
∵∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG,即∠BCG=∠DCE=90°
BC=CD,CG=CE
∴△BCG∽△DCE
∴BG=CE,∠CBG=∠CDE
又∵∠CBG+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠BHC=90°
则BG与DE所在直线被DC所截形成同旁内角互为余角，有直线BG⊥DE.
（2）如图五所示，在矩形ABCE与CEFG中，∠BCD=∠GCE=90°
∵∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG,
有∠BCG=∠DCE=90°
∵AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb
BC/CD=b/a , CG/CE=kb/ka=b/a
∴△BCG∽△DCE(对应两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
有∠CBG=∠CDE
∵∠CBG+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠BHC=90°
则BG与DE所在直线被DC所截形成同旁内角互为余角，有直线BG⊥DE.
又∵在矩形ABCE中,a,b不相等
∴b与a的比值不为1，有BG不等于DE
故，（1）中结论只有BG与DE所在直线垂直这一条仍成立。
BG=DE
线段BG、线段DE所在直线的位置关系为：互相垂直。
②将图一中的张方形CEFG绕C顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α,①中得到的结论依然成立。
理由如下：
在△DCE和△BCG中，
∵ CD=CB
∠ECG+∠DCG =∠BCD+∠DCG 即：∠DCE=∠BCG
CE=CG
∴△DCE≌△BCG(ASA)
∴DE=BG
∠CDE=∠CBG
又∵△OHD和△CHB中
∠OHD=∠CHB(对顶角相等)
∠CDE=∠CBG(已证)
∴△OHD∽△CHB
∴∠DOH=∠BCH=90°
即：线段BG、线段DE所在直线互相垂直。
（2）将原题中正方形改为矩形，且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，（a≠b，k＞0），则
BG≠DE ；但线段BG、线段DE所在直线依然互相垂直。
理由如下：
图五可知，在△DCE和△BCG中
∵CD:CE=a:ka=1:k
∠ECG+∠DCG =∠BCD+∠DCG 即：∠DCE=∠BCG
BC:CG=b:kb=1:k
∴△DCE∽△BCG
∴CD:BC=DE:BG=a:b(a≠b) 即：BG≠DE
与(1)②同理，在△OHD和△CHB中
∠OHD=∠CHB(对顶角相等)
∠CDE=∠CBG(已证)
∴△OHD∽△CHB
∴∠DOH=∠BCH=90°
即：线段BG、线段DE所在直线互相垂直
②依然成立
证明：
∵∠BCG=∠DCG﹢∠BCD
∠ECD=∠ECG+∠DCG
∵四边形ABCD是正方形,CEFG也是正方形
∴∠BCD=∠ECG=90º
BC=DC
GC=CE
∴ ∠BCG =∠ECD
∴ΔBCG≌ΔDCE
∴BG=DE(。。。。。。。。。。。。得证)
∵ΔBCG≌ΔDCE
∴∠CBG=∠CDE
又∵∠BHC=∠DHG
而∠BHC+∠CBH=90º
∴∠HDE+∠DHG=90º
∴BG⊥DE(。。。。。。。。。。。。得证)
（2）BG不等于DE而是kBG=DE
BG仍然垂直于DE
说明：∵∠BCG=∠DCG﹢∠BCD
∠ECD=∠ECG+∠DCG
∵四边形ABCD是长方形,CEFG也是长方形
∴∠BCD=∠ECG=90º
∴ ∠BCG =∠ECD
∵AB=a，BC=b（这里应该是b吧），CE=ka，CG=kb
∴∴ΔBCG∽ΔDCE
∴∠CBG=∠CDE
又∵∠BHC=∠DHG
而∠BHC+∠CBH=90º
∴∠HDE+∠DHG=90º
∴BG⊥DE
解答：解：（1）①BG=DE，
BG⊥DE．（2分）
②BG=DE，
BG⊥DE仍然成立．（1分）
在图（2）中证明如下
∵四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE（1分），
∴△BCG≌△DCE（SAS），（1分）
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE．（1分）
（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立．（2分）
简要说明如下：
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，
且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka（a≠b，k＞0），
∴ ，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，（1分）
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE．（1分）
②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHG=90°，
∴BG⊥DE．
（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，
∴BCDC=CGCE=ba，
又∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHG=90°，
∴BG⊥DE．
希望帮到你~~
