在数学物理方法上,不定积分法适用于所有求解析函数吗？ u=x^2-y^2+xy,f(i)=-1+i用不定积分怎么求。。。

Question

如题所述

Answer 1

解：根据全微分公式和Cauchy-Riemann方程，可得
dv=v_xdx+v_ydy=-u_ydx+u_xdy
=(2y-x)dx+(2x+y)dy=2(xdy+ydx)-xdx+ydy
=2d(xy)-d(x^2/2)+d(y^2/2)=d({y^2-x^2}/2+2xy),
故，v={y^2-x^2}/2+2xy+C,
所以，f(z)=u+iv=(x^2-y^2+xy)+i({y^2-x^2}/2+2xy+C),
再根据f(i)=-1+i, 可得C=1/2,
故，f(z)=u+iv=(x^2-y^2+xy)+i({y^2-x^2}/2+2xy+1/2)
=(x^2-y^2+2xyi)-i(x^2-y^2+2xyi)/2+i/2
=(x+yi)^2-i(x+yi)^2/2+i/2
=z^2-iz^2/2+i/2=(1-i/2)z^2+i/2追问

谢谢你得回答，不过我想知道用不定积分方法能否解决这个问题。。。

追答

当然可以，根据f'(z)=u_x-iu_y=(2x+y)-i(x-2y)=2(x+iy)-i(x+yi)=2z-iz=(2-i)z,
故f(z)=(1-i/2)z^2+C, 再根据f(i)=-1+i, 可得C=i/2,
所以，f(z)=(1-i/2)z^2+i/2.