线性代数，有一道题，已知A是2n+1阶矩阵正交矩阵，即AA^T=A^TA=E,证明E-A^2的行列式为零

Question

书上有一步写着A(A^T-E^T)的行列式=A的行列式乘以A-E的行列式，为什么？

Answer 1

因为AT-ET=(A-E)T,所以det(AT-ET)=det(A-E)T,
证明：因为det(E-A^2)=det(E+A)det(E-A)=det(E+A)det(AA^T-A)=detAdet(E+A)det(A^T-E)
=detAdet(E+A)det(A-E)T
=detAdet(E+A)det(A-E)
=detAdet(E+A)(-1)^(2n+1)det(E-A)
=-detAdet(E+A)det(E-A)
=-detAdet(E-A^2)
所以(1+detA)det(E-A^2)=0本回答被网友采纳

Answer 2

1）|A^T|=|A| ；

2）(A-E)^T=A^T-E^T ；
3）|A*(A^T-E^T)|=|A|*|A^T-E^T|=|A|*|(A-E)^T|=|A|*|A-E| ；
4）|E-A^2|=|A*A^T-A^2|=|A*(A^T-A)|=|A|*|A^T-A| ，
而 |E-A^2|=|A^T*A-A^2|=|(A^T-A)*A|=|A^T-A|*|A|=|-(A-A^T)|*|A|=(-1)^(2n+1)*|A|*A^T-A|= -|A|*|A^T-A| ，
所以 |E-A^2|=0 。

Answer 3

|A(A^T-E^T)|
= |A||A^T-E^T|
=|A||(A-E)^T|
=|A||A-E|

注:知识点 |A^T|=|A|.本回答被提问者采纳