已知AB，CD是圆O的直径，点E是OB中点，弦CG过点E，连AG交CD于H点，证明H是OD的三分之一点。

Question

请用初中知识解，万分感谢。

Answer 1

◆估计本题中少了条件"AB与CD互相垂直".
证明:连接AC,BG.设AB=CD=4k,则OC=OA=2k,OE=BE=k.
∵OA垂直OC.
∴AC=√(OA²+OC²)=2√2k;CE=√(OC²+OE²)=√5k.
∵∠ACE=∠GBE(同弧所对的圆周角相等);∠CEA=∠BEG(对顶角相等)
∴⊿ACE∽⊿GBE,AC/GB=CE/BE,(2√2k)/BG=(√5k)/k, BG=(2√10/5)k.
AB为直径,则∠AGB=90°,AG=√(AB²-BG²)=(6√10/5)k.
∵∠AOH=∠AGB=90°;∠OAH=∠GAB.
∴⊿AOH∽⊿AGB,OH/GB=AO/AG,OH=(AO*GB)/AG=2/3k.

则OH/OD=(2/3k)/(2k)=1/3,OH=(1/3)OD.

Answer 2

经过观察发现疑惑，然后严格计算证明 后发现要你的题设成立，缺少一个重要条件：
直径CD垂直于AB，当且仅当这样时OH=R/3
若没有这个条件|OH|/|OD|的比值在（0.2，1）这个区间连续变化。
下面是详细讨论：
连接CB，令∠OCG=u，∠GCB=v ，|OD|=R，|OH|=tR
那么 容易 得到∠CEO=u+2v，∠GAD=v，∠AHC=2u+v；
现在要讨论的是t是否随着两直径夹角的变化而变化：
在△OCE与△AOH中分别用正弦定理有：
△OCE中：(R/2)/sinu=R/sin(u+2v).把它变形后可以得到：
tanu=2tanv/[3(tanv)^2+1]....................................(1)
△AOH中：R/sin(2u+v)=tR/sinv同样变形后：
t=[ 1+(tanu)^2 ] / [ 2tanu / tanv +1- (tanu)^2 ]........(2)
把（1）中的tanu代入（2）中并化简得到：
t=[ 9(tanv)^4+10(tanv)^2+1 ] / [ 9(tanv)^4+14(tanv)^2+5 ]
用x代替上面的（tanv)^2有：
t=1 -(4x+4) / (9x^2+14x+5)...........................(3)
由于两直径夹角的变化v在（0，π/2)内变化，那么tanv在 0到无穷大 变化
那么x也一样在0到无穷大内变化，对（3）取极限得到t的范围（1/5,1)
当两直径垂直即tanv=1/3时刚好t也等于1/3。追问

亲你辛苦了……但我初二真心看不懂……