判断一个函数的单调性的常用方法:定义法,导数法,图象法,化归常见函数法,运用复合函数单调性规律;证明一个函数的单调性的方法:定义法,导数法。
1、常用复合函数单调性规律:
(1)若函数f(x),g(x)在区间D上均为增(减)函数,则函数f(x)+g(x)在区间D上仍为增(减)函数。
(2)若函数f(x)在区间D上为增(减)函数,则函数-f(x)在区间D上为减(增)函数。
(3)复合函数f[g(x)]的单调性的判断分两步:Ⅰ考虑函数f[g(x)]的定义域;Ⅱ利用内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)确定函数f[g(x)]的单调性,法则是“同增异减”,即内外函数单调性相同时为增函数,内外层函数单调性相反时为减函数。
2、导数法
首先对函数进行求导,令导函数等于零,得X值,判断X与导函数的关系,当导函数大于零时是增函数,小于零是减函数。
3、定义法
设x1,x2是函数f(x)定义域上任意的两个数,且x1<x2,若f(x1)<f(x2),则此函数为增函数;反知,若f(x1)>f(x2),则此函数为减函数。
定义法
运用函数的性质
复合函数单调性判断法则
求导法
高中阶段只能用这及种方法判断,注意不能运用函数图象证明函数的单调性,但是可以运用函数图象记忆单调性。因为只有知道函数单调性以后,才能准确作出函数图象,也可以理解成函数图象是函数单调性的照片,会画函数图象就是知道函数单调性。