两个正态分布的任意线性组合仍然是正态分布吗？

Question

如题所述

Answer 1

正态分布相加减规则：两个正态分布的任意线性组合仍服从正态分布，此结论可推广到n个正态分布。因此，只需求X-3Y的期望方差就可知道具体服从什么正态分布了。

只有相互独立的正态分布加减之后，才是正态分布。如果两个相互独立的正态分布X~N(u1,m)，Y~N(u2，n)，那么Z=X±Y仍然服从正太分布，Z~N(u1±u2，m+n)。

性质：

正态分布的性质：如果X1，…，Xn为独立标准常态随机变量，那么X1²+…+Xn²服从自由度为n的卡方分布。

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

Answer 2

是的，两个正态分布的任意线性组合仍然是正态分布。更准确地说，如果X和Y是两个服从正态分布的随机变量，即X~N(μ1, σ1^2)和Y~N(μ2, σ2^2)，那么它们的线性组合aX + bY（其中a和b是常数）也将服从正态分布。
具体而言，如果X和Y是独立的，那么它们的线性组合将是一个新的正态分布。线性组合的均值和方差可以通过以下公式计算：
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)
这表示线性组合的期望是各个随机变量期望的加权和，方差是各个随机变量方差的加权和。
需要注意的是，线性组合只针对独立的正态分布成立。如果X和Y之间存在相关性或依赖关系，那么线性组合可能不再是正态分布。